- •Содержание
- •2. Понятие уравнения
- •2.1. Численное решение нелинейных алгебраических и транцендентных уравнений
- •2.1.1. Метод перебора
- •2.1.2. Метод дихотомии (половинного деления)
- •2.1.3. Метод отделения корней
- •2.1.4. Метод хорд
- •2.1.5. Метод касательных (метод Ньютона, метод линеаризованной итерации)
- •2.1.6. Метод секущих (комбинированный метод секущих – хорд, метод хорд - касательных)
- •2.1.7. Метод простых итераций
- •2.2. Численные методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений (снау)
- •2.2.1. Метод последовательных приближений (простых итераций) для снау
- •2.2.2. Метод Ньютона для снау
- •2.2.2.1. Вариант 1
- •2.2.2.2. Вариант 2
- •2.2.2.3. Меры предосторожности в методе Ньютона
- •2.2.2.4. Локальное решение нелинейного уравнения
- •2.2.3. Метод Ньютона по параметру
- •2.2.4. Метод Бройдена
- •2.2.5. Метод Матвеева
- •Литература
- •Задания и примеры выполнения нахождение корня нелинейного уравнения
- •1. Постановка задачи
- •2. Методы решения задачи
- •2.1 Метод деления отpезка пополам
- •2.2 Метод простой итерации
- •2.3 Метод Ньютона
- •Методы решения системы нелинейных уравнений
- •Постановка задачи
- •2. Методы решения системы нелинейных уравнений
- •2.1.Метод простой итерации
- •2.2. Метод Ньютона
2.1.3. Метод отделения корней
Один из недостатков метода дихотомии – сходимость неизвестному корню (имеется почти у всех итерационных методов). Его можно устранить отделением уже найденного корня.
Если есть простой корень уравнения и - непрерывна, то вспомогательная функция непрерывна, причем все нули функции и совпадают, за исключением , ибо . Если – кратный корень уравнения , то он будет нулем кратности на единицу меньше; остальные нули обеих функций по-прежнему будут одинаковы.
Вот почему найденный корень можно отделить, т. е. перейти к другой функции . Тогда нахождение остальных нулей функции сведется к нахождению нулей функции . Когда мы найдем какой-нибудь корень функции , то этот корень тоже можно отделить, вводя новую вспомогательную функцию . Так можно последовательно найти все корни .
Строго говоря, находится лишь приближенное значение корня . А функция имеет нуль в точке и полюс в близкой к ней точке (рис. 3). Только на некотором расстоянии от этого корня она близка к . Чтобы это не сказывалось при нахождении следующих корней, надо вычислить каждый корень с высокой точностью, особенно если он кратный или вблизи него расположен другой корень уравнения.
Рис 3.
Отделение корней. Корень ξ уравнения считается отделённым на отрезке [a,b] , если на этом отрезке уравнение не имеет других корней.
Отделить корни – значит, разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень.
Произведем отделение корней аналитическим способом.
Аналитический метод отделения корней.
Найти – первую производную.
Составить таблицу знаков функции ,полагая равным.
а) критическим значениям (корням) производной или ближайшим к ним;
б) граничными значениями (исходя из области допустимых значений неизвестного).
Определить интервалы, на концах которых функция принимает значения противоположных знаков. Внутри этих интервалов содержится по одному и только по одному корню.
2.1.4. Метод хорд
При этом методе каждое значение находится как точка пересечения оси абсцисс с хордой, проведенной через точки и , причем одна из этих точек фиксируется та, для которой знаки и одинаковы. Если неподвижен конец хорды , то
,
а если неподвижен конец хорды , то
.
Если , то в первом случае считаем , во втором и повторяем вычисления. При использовании метода хорд предполагается, что корень находится на отрезке .
Рис 4. Решение уравнения методом хорд
Алгоритм.
Провести прямую, соединяющую точки и . Вычисляем значение функции в точках и .
Эта прямая пересекает ось в точке :
Если и имеют разные знаки , то положить и перейти к п. 5.
Если и имеют разные знаки , то положить и перейти к п. 5.
Если условие остановки не удовлетворяется, то перейти к п. 1.
Условия остановки могут быть такими:
- ( задаётся),
- интервал ( задаётся),
- количество итераций превысило заданную величину.