Розв’язування 5.4

Середню освітленість ( ) можна знайти за відомим співвідношенням:

, (1)

де Ф – світловий потік, який створює на екрані зображення Сонця, S – площа зображення.

Так як зображення створюється тими ж променями, які падають на лінзу, то можна шукати Ф як світловий потік, який падає на поверхню лінзи . Таким чином, на основі формули (1) можна одержати:

, (2)

де Е – освітленість поверхні лінзи сонячними променями.

Знайдемо Е, використавши закон освітленості:

, (3)

де І – сила світла Сонця; R – відстань від Землі до Сонця.

Силу світла Сонця знайдемо, використавши визначення яскравості (В):

, (4)

де – кут між нормаллю до елемента поверхні dS і даним напрямком променів.

В нашому випадку . Тоді знайдемо силу світла Сонця ( ) через задану яскравість ( ):

(5)

де – радіус площі видимого круга (а не півсфери) Сонця; тоді – площа видимого круга Сонця.

Підставимо (5) в (3) і знайдемо (Е):

(6)

Але відомо, що кутові розміри Сонця малі, тоді можна прийняти, що

(7)

Тоді (6) з врахуванням (7) запишемо:

(8)

Використавши співвідношення (8), формулу (2) запишемо:

(9)

Для того, щоб розрахувати площу зображення Сонця на екрані, врахуємо, що воно буде лежати в фокальній площині лінзи. Тому

(10)

Зараз за формулою (1) з врахуванням (9) та (10) маємо:

(11)

В формулу (11) підставимо числові значення в одиницях СІ:

Зауваження. Так як у фотоапараті зображення, як правило, отримується поблизу фокальної площини об’єктива, то формула (11) виражає освітленість зображення на фотоплівці фотоапарата (без врахування втрат світла в об’єктиві). Вказано, що освітленість пропорційна яскравості (В) об’єкта і квадрата відносного отвору об’єктива.

Задача 5.5 (22-11, Фірганг, С.260)

Через отвір в кришці ящика на його дно, вкрите листом білого паперу, падає вузький пучок світла, який утворює світлову пляму («зайчик») площею S=10 см² та освітленістю Е=1,0^.10⁴ лк. Вважаючи, що аркуш паперу розсіює світло за законом Ламберта, та прийнявши коефіцієнт розсіювання =0,8, знайти освітленість стінки ящика в точці А, яка віддалена від «зайчика» на відстань r=0,40 м, якщо кут падіння променів (див. мал.).

Мал.5.5

Розв’язування 5.5

Приймемо «зайчик« за точкове джерело світла, можна знайти освітленість стінки за законом освітленості:

(1)

Так як величини відомі, задача зводиться до знаходження сили світла джерела. Розсіюючи падаючі промені, папір являється джерелом світла. Очевидно, сила світла цього джерела залежить від коефіцієнта розсіювання , який разом з освітленістю аркуша визначає світність (R) «зайчика», згідно формули:

(2)

За умовою задачі, аркуш розсіює світла за законом Ламберта, згідно якого яскравість (В) не залежить від напряму і світність (R) та яскравість (В) зв’язані співвідношенням:

(3)

Використовуючи вирази (2) і (3), знайдемо яскравість «зайчика»:

(4)

Знаючи яскравість «зайчика», знайдемо силу світла І в напрямку ОА (див. мал.) згідно формули:

(5)

де – кут між нормаллю до елемента поверхні dS і даним напрямком.

Так як яскравість «зайчика» однакова для всіх точок його поверхні, елементарні величини dI та dS у формулі (5) замінимо скінченими значеннями І та S. Тоді:

(6)

де кут , як це видно із малюнка, зв’язаний з кутом так:

(7)

Але відомо, що

(8)

Тоді, враховуючи формули (8) та (4), запишемо силу світла І, яка дорівнює:

(9)

Маючи (І), підставляємо його в (1) і знаходимо освітленість в точці А:

(10)

Для розрахунку ( ) підставимо в (10) числові значення в системі СІ:

Задача 5.6 (22-13, Фірганг, С.262)

Як залежить від діаметра D тонкої збиральної лінзи яскравість дійсного зображення, якщо його розглядати в двох випадках: 1) на білому екрані, який розсіює за законом Ламберта? 2) безпосередньо?

Мал. 5.6