Задача 1.12

Осцилограма затухаючих коливань має коливань. Амплітуда першого коливання мм і наступного мм. Вважаючи, що час протягом якого відбуваються ці коливання дорівнює , визначити:

1. Період , частоту і колову частоту коливань.

2. Логарифмічний декремент затухання коливань .

3. Коефіцієнт затухання коливань .

4. Сталу часу .

5. Добротність системи .

Розв’язування 1.12

1. Період коливання визначаємо за формулою , де – час коливання; – кількість коливань, які відбулися протягом цього часу. Отже, .

Частота ; .

Колова частота ; .

2. Логарифмічний декремент затухання , де і – амплітуди коливань, віддалені одна від одної на період. Знаючи і визначаємо .

3. Оскільки амплітуда затухаючих коливань змінюється за законом:

, то

Звідси коефіцієнт затухання коливань :

.

4. Стала часу – це інтервал часу, протягом якого амплітуда коливань зменшується в раз. ; .

5. Добротність системи визначається відношенням характеристичного опору до коефіцієнта опору , тобто

.

Задача 1.13

Амплітуда зміщення вимушених коливань тіла при маленькій частоті вимушуючої сили мм, а при резонансі . Коефіцієнт згасання набагато менший за одиницю. Визначити добротність системи, логарифмічний декремент згасання.

Розв’язування 1.13

При малій частоті зовнішньої сили амплітуда зміщення рівна статичному зміщенню:

, (1)

де – власна частота коливань системи.

При резонансі амплітуда коливань

(2)

Тоді відношення

(3)

Добротність системи можна виразити через коефіцієнт затухання і циклічну частоту коливань :

(4)

Оскільки за умовою , то . Тоді, порівнявши вирази (3) і (4), знайдемо:

(5)

.