Задача 1.9

Вантаж , що висить на пружині, розтягує її на величину м. Визначити:

1. Жорсткість пружини.

2. Роботу, виконану силою тяжіння під час розтягування пружини.

3. Максимальну швидкість, якої набуде тіло, що здійснює коливання, якщо зникне сила тяжіння.

4. Колову частоту, частоту і період коливань даного вантажу на пружині (один з варіантів цього завдання можна перевірити експериментально, зібравши демонстраційну установку).

5. Довжину математичного маятника, який матиме такий період коливань, як і даний вантаж на пружині (результат можна запропонувати перевірити експериментально).

Розв’язування 1.9

1. В положенні рівноваги сила тяжіння, що діє на тягарець зрівноважується силою пружності (рис.), яка за законом Гука пропорційна деформації пружини , де – жорсткість пружини. Тобто, враховуючи напрям осі у:

х1 х2 у Рис.

(1) Звідси (2) 2. Роботу, виконану силою земного тяжіння при розтягуванні пружини, можна визначити за різницею потенціальних енергій пружини в кінцевому і початковому станах: Але потенціальна енергія в початковому стані (пружина не розтягнута) дорівнює нулю ( ). Тому і, отже

(3)

Враховуючи (2), маємо

(4)

3. За законом збереження механічної енергії (при нехтуванні її втратами), максимальне значення механічної енергії

. (5)

(6)

Звідси максимальне значення швидкості, яку мало би тіло, якщо раптом зникло б земне тяжіння:

(7)

Але

(8)

Тому

(9)

(10)

4. Колову частоту коливань на пружині можна визначити за формулою

(11)

(12)

.

Оскільки колова частота пов’язана із звичайною частотою співвідношенням

, (13)

а період коливань

(14)

то

;

4. Період коливань вантажу на пружині визначають за формулою

(15)

Період коливань математичного маятника

(16)

Прирівнюючи вирази (15) і (16) і врахувавши (2), маємо:

(17)

За умовою задачі м, отже м.