Тема 1. Механічні коливання

Задача 1.1

Записати рівняння вільного гармонічного коливання, якщо амплітуда коливань м, а частота Гц.

Розв’язування 1.1

Вільне гармонічне коливання описується рівнянням:

. (1)

Згідно умови задачі м; .

Знайдемо :

(2)

Отже, шукане рівняння матиме вигляд:

.

Задача 1.2

Яка частота, амплітуда і початкова фаза коливання, яке задається рівнянням м?

Розв’язування 1.2

Порівняємо рівняння гармонічного коливання в загальному випадку (1) і задане в умові задачі (2):

(1)

(2)

Очевидно, що

м,

,

Гц.

Задача 1.3

Коливання вантажу на пружині масою кг описується рівнянням . Визначити:

1. Амплітуду коливання ;

2. Колову частоту ;

3. Частоту ;

4. Період ;

5. Початкову фазу ;

6. Повну енергію ;

7. Максимальну швидкість руху вантажу ;

8. Коефіцієнт жорсткості пружини .

Розв’язування 1.3

При гармонічних коливаннях рівняння коливань у загальному випадку має вигляд:

(1)

де – амплітуда коливання; – фаза коливання; – початкова фаза коливання; – циклічна частота; – час від початкового моменту.

Тоді згідно умови розв’язком задачі є:

1. Амплітуда коливання =0,1 м.

2. Колова частота .

3. Частоту визначаємо з рівняння . Звідси [Гц].

4. Період ; [c].

5. .

6. Повна енергія складається із потенціальної і кінетичної . В процесі коливання відбувається перетворення кінетичної енергії в потенціальну і зворотній процес. Причому в момент найбільшого відхилення від положення рівноваги повна енергія рівна потенціальній енергії, яка досягає свого максимального значення . А при проходженні системи через положення рівноваги повна енергія рівна кінетичній енергії, яка в цей момент є максимальною .

Отже,

7. Максимальна швидкість руху вантажу :

.

8. Коефіцієнт жорсткості пружини знаходимо з порівняння максимальних значень кінетичної і потенціальної енергій:

; ;

.

Задача 1.4

Кожне конкретне вільне гармонічне коливання, яке описується рівнянням: , характеризується значеннями амплітуди А і початкової фази . Визначити ці параметри для даного рівняння коливань із початкових умов, тобто при , .

Розв’язування 1.4

Маючи рівняння

, (1)

Знайдемо залежність :

(2)

Покладемо в рівняннях (1) і (2) і знайдемо:

, (3)

(4)

З рівнянь (3) і (4) знайдемо А:

(6)

(7)

(7)

Враховуючи, що , одержимо:

(8)

З формул (3) і (4) визначимо

(9)

(10)

(11)