Задача 1.10

Ареометр масою кг з циліндричною трубкою радіусом см плаває в розчині сірчаної кислоти і показує, що густина розчину . Якщо змістити прилад по вертикалі на малу величину і відпустити, то він почне коливатися. Визначити період Т цих коливань, вважаючи їх незгасаючими. Визначити залежність при Побудувати графік.

Розв’язування 1.10

На ареометр, який плаває в рідині, діють дві сили: сила ваги

(1)

і архімедова виштовхувальна сила, що рівна вазі рідини, яку витіснило тіло (ареометр):

(2)

де – об’єм витісненої рідини, рівний об’єму зануреної частини ареометра.

Якщо ареометр знаходиться в рівновазі, то прикладені до нього сили будуть рівні за величиною і протилежні за напрямом. Прийнявши напрямок «вниз» за додатній, отримаємо:

(3)

Якщо ареометр змістити від положення рівноваги по вертикалі на величину х (х – алгебраїчна величина), то величина виштовхувальної сили зміниться, оскільки змінюється об’єм зануреної частини приладу. В цьому випадку рівнодійна сили тяжіння і архімедової сили буде напрямлена по вертикалі догори і надаватиме тілу прискорення а. За другим законом Ньютона, маємо

(4)

де – зміна об’єму зануреної частини приладу., Оскільки , то

(5)

Врахувавши, що і , отримуємо диференційне рівняння:

(6)

де

= const (7)

Розв’язком такого рівняння є

(8)

де величина

(9)

є циклічною частотою коливань.

Тоді період коливань:

Т, с

= (10)

Г

рафік функції визначається рівнянням (10) і має вигляд, зображений на рис.

Рис.

Задача 1.11

Ареометр масою кг з радіусом трубки см заставляють коливатись в рідині густиною по вертикалі, надаючи йому початкове невелике зміщення. За час с ареометр здійснює 10 коливань. Визначити коефіцієнт опору середовища при коливанні ареометра і коефіцієнт згасання , а також . Рух рідини не враховувати.

Розв’язування 1.11

Оскільки в цьому випадку на ареометр, крім сили тяжіння ( ) і сили Архімеда ( ), діє ще і сила опору середовища ( ), напрямлена проти зміщення, то рівняння руху тіла матиме вигляд:

(1)

або (див. задачу 1.10):

(2)

Воно має такий вигляд, як і рівняння руху тіла, що здійснює згасаючі гармонічні коливання:

(3)

Отже, ареометр здійснює затухаючі гармонічні коливання:

, (4)

де

(5)

– коефіцієнт згасання. Циклічна частота цих коливань визначається рівнянням:

(6)

де – власна частота коливань.

Враховуючи, що

(7)

а також вирази для обчислення коефіцієнта згасання (5) і власної частоти коливань (задача 1.10.), рівняння (6) можна записати у вигляді:

(8)

Звідси знайдемо коефіцієнт опору середовища

(9)

Перевіримо розмірність і розрахуємо його значення.

;

;

2. Коефіцієнт згасання (5):

3. Логарифмічний декремент згасання :

4. Число коливань , після яких амплітуда коливань зменшиться в е-раз:

5. Час , протягом якого амплітуда коливань зменшиться в е-раз:

6. Добротність коливальної системи: