Преимущество сплайнов перед обычной интерполяцией

• их сходимость;

• устойчивость процессов вычисления.

Учитывая свойства сходимости сплайн функции, 2 интервал разбиваем на 2 и выбираем дополнительный узел интерполяции в точке Е (6, 1,35).

Для новой сетки узлов интерполяции составим таблицу экспериментальных коэффициент сплайн функции.

j	xj	yj	hj-1	aj-1	bj-1	cj-1	dj-1
1	0	0	-	-	-	-	-
2	2	1,1	2	0	0,638	0	-0,02212
3	6	1,35	4	1,1	0,3971	-0,1327	0,0122
4	15	1,45	9	1,35	-0,076	0,0145	-0,0005367
5	80	1,5	65	1,45	0,00077	0	0

Согласно данным таблицы:

0≤x≤2 φ₁(x)=0+0,638496(x-0)+0(x-0)²-0,02212(x-0)³

2≤x≤6 φ₂(x)=1,1+0,3971(x-2)-0,1327(x-2)²+0,0122(x-2)³

6≤x≤15 φ₃(x)=1,35-0,076(x-6)+0,0145(x-6)²-0,0005367(x-6)³

15≤x≤80 φ₄(x)=1,45+0,00077(x-15)+0(x-15)²+0(x-15)³

Построим новую сплайн функцию для интерполяционной кривой намагничивания.

Рис.9

Вывод:

0. согласно рис.9 точность аппроксимирующей кривой В(Н) при введении дополнительного узла интерполяции резко увеличилась.

1. при интерполировании сплайн функцией следует чаще выбирать узлы интерполяции кривой, где значение функции имеет нелинейные изменения (высокая кривизна).

Аппроксимация по методу наименьших квадратов.

При интерполировании основным условием является прохождение графика интерполяционного многочлена через данные значения функции в узлах интерполяции. В ряде случаев выполнение этого условия даже не целесообразно.

Табличные данные, которые получают путём измерения содержат ошибки, которые как правило являются случайными. Поэтому построение аппроксимирующею многочлена с условием обязательного прохождения графика функции через эти экспериментальные точки означает тщательное повторение допущенных при измерении ошибок. Выход из этого положения - построение такого многочлена график которого проходит близко от данных точек. На практике часто используется аппроксимирующая функция следующего вида:

(1)

А мерой отклонения многочлена φ(х) от заданной функции f(x) на множестве точек (x_j, y_j) ( j=l,2,...,n) по методу наименьших квадратов является величина S.

Величина S равна сумме квадратов разности между значениями многочлена и функции в данных точках:

(2)

Для построения аппроксимирующего многочлена нужно подобрать коэффициенты а₀,а₁,...,а_n так, чтобы величина S была наименьшей. В этом состоит суть метода наименьших квадратов. Обозначим разность между значениями опытных данных y_j =f(x_j) и значениями аппроксимирующей функции в этих точках через ε_j получим:

(3)

В соответствии с уравнением (2) параметры а₀,а,,...,а_n выступают в роли независимых переменных функции S, значит её минимум найдём приравняв к нулю производные по этим переменным:

(4)

Если в качестве аппроксимирующего полинома использовать многочлен (1), то формула (2) примет вид:

(5)

Для составления системы (4) найдём частные производные функции

……………………………………….

Приравняв эти выражения к нулю в соответствии с уравнением (4) и собирая коэффициенты при неизвестных придем к следующей системе уравнений:

(6)

Решая (6) получаем коэффициенты многочлена (1), которые являются искомыми параметрами аппроксимирующего полинома.

Систему (6) запишем в более компактном виде:

(7)

где l,k=0,1,…,n

Пример:

Методом наименьших квадратов аппроксимировать кривую намагничивания B=f(H).

j	xj	yj
1	0	0
2	2	1.1
3	6	1.35
4	15	1.45
5	80	1.5

Пусть ( )

Имеем n=2, N=5. Система (7) примет вид:

(10)

Коэффициенты в (10) вычисляем по (8):

С учетом найденных коэффициентов систему (10) запишем в виде:

Из последней системы найдем . Получим:

Рис. 10

Вывод: точность аппроксимации квадратным трехчленом кривой намагничивания B=f(H) остается на низком уровне. В начале кривой намагничивания при H>20. Это объясняется выбором точек эксперимента, большое число которых выбраны в начале кривой намагничивания.