Постановка задачи аппроксимации функций

В основе большинства численных методов математического анализа лежит подмена одной функции f(x) (известной, неизвестной или частично известной) другой функцией φ(х) , близкой к f(x) и обладающей такими свойствами, что позволяют легко производить над нею те или иные аналитические или вычислительные операции. Такую подмену будем называть приближением или аппроксимацией функции f(x) функцией φ(х).

Поводом для аппроксимации может послужить, например, табличный способ ее задания. Он может возникнуть даже тогда, когда аналитическое выражение функции имеется, однако оно оказывается малопригодным для решения поставленной задачи, потому что операция, которую требуется осуществить над ней трудновыполнима.

Элементарный пример — вычисление значения трансцендентной функции «вруч­ную». Действительно, чтобы вычислить, например, In 3,2756, про­ще всего воспользоваться степенным разложением функции , т.е.

заменить трансцендентную функцию степенной. При этом полу­чится, разумеется, приближенное значение функции, но если мы умеем контролировать погрешность, то можно считать, что мы получили интересующий нас результат — хотя бы потому, что в реальности все равно приходится ограничиваться приближенным представлением значений логарифмической функции.

Другая ситуация, когда может потребоваться аппроксимация аналитически заданной функции, — вычисление определенный интегралов. Задача эта, как правило, весьма сложная, часто элементарными приемами невыполнимая. Как вычислить интеграл ? Он, несомненно, существует, но по формуле Ньютона—Лейбница вычислен быть практически не может, так как первообразная не выражается в элементарных функциях (как и множество других первообразных от элементарных функции). Аппроксимация подынтегральной функции — один из возможных приемов (и важно отметить, что цель аппроксимации налагает отпечаток на ее способ).

Чаще всего задача аппроксимации решается с помощью многочленов. Вычисления значений многочлена легко автоматизировать, производная и интеграл от многочлена, в свою очередь также являются многочленами. Наряду с многочленами для аппроксимации используют ряды Фурье, экспоненциальные и другие элементарные функции.

Договоримся, что в качестве функций φ(х) будем использовать только многочлены или функции, составленные из многочленов, в таком случае будем говорить о полиномиальной или кусочно-полиномиальной аппроксимации соответственно (за исключением метода наименьших квадратов). Т.е. аппроксимация производится многочленом степени n, где n принадлежит множеству целых неотрицательных чисел.

Задача аппроксимации формулируется:

экспериментально в точках (узлах)х_1, х₂ … х_n определены значения y₁, у₂ … у_n неизвестной функции у = f(x) .

Требуется для функции у = f(x) подобрать замену в виде ( х, Θ), где Θ - вектор независимых параметров.

Известная функция φ(х, Θ) должна быть близка функции y = f(x) . Добиваются этого путем подбора по определенной методике вектора Θ = Θ₁, Θ₂ ...Θ_N,.

Для оценки «близости» функций выбирают тот или иной критерий согласия. Эти критерии основаны на использовании той или иной метрики, т.е. способа введения расстояния между функциями принадлежащими тому или иному классу:

. Например для функций, ограниченных на отрезке , расстояние может быть введено следующим образом: ;для функций, непрерывных на отрезке , по формуле или , а также многими другими способами.

Часто используют минимально - максимальный критерий, при котором функция φ(х, Θ) выбирается из условия минимума функции ψ(Θ).

Для функций, заданных таблично, достаточно распространенным критерием согласия является критерий Чебышева, который определяет расстояние р между аппроксимируемой и аппроксиммирующей функциями как максимум величины отклонения между этими функциями в узлах:

1. Если ошибки эксперимента малы р=0 и их можно не учитывать, то задача аппроксимации сводится к интерполяции.

Для интерполяции характерно совпадение функции f(x) с функцией φ(х, Θ) в точках х_0, х₁ … х_n , которые называются узлы интерполяции f(x _j ) = φ( х _j , Θ) j = 0,1, 2, ... n.

С геометрической точки зрения график функции Р(x) при интерполировании должен проходить через все точки , ,…, . Подчеркнем, что для значений х, не явля­ющихся узловыми, значения функции Р(x) ничем не регламен­тированы, и в принципе могут значительно отличаться от значе­ний функции f(x).

2. Часто процедура аппроксимации связана с другим критерием согласия, когда ошибка эксперимента существенна:

Применяемый на его основе способ аппроксимации получил название метода наименьших квадратов.

Существование и единственность интерполяционного многочлена

Задача аппроксимации формулируется:

Аналитическое выражение функции f(x) неизвестно. Пусть известны y_0, у_1….у_n - значение функции в точках x₀, x₁…х_п отрезка [а, в], т.е. задана табличная (сеточная) функция f(x) : (*)

x	x0	x1	…	xn
y	y0	y1	…	yn

Будем решать задачу интерполирования этой

функции с помощью построения интерполяционного многочле­на n-й степени

Требуется найти многочлен (полином) степени n

(1),

такой, что бы выполнялась совокупность условий интерполяции (т.е. полином в узлах интерполяции должен принимать табличные значения)

P_n(x_i )=y_i i=1,2,..n (2)

Условия интерполяции (2) приводят к системе из п+ 1 линейных алгебраических уравнений с п + 1 неизвестными — коэффициентами многочлена:

(3)

Решая эту систему относительно неизвестных , ,… мы и получим аналитическое выражение полинома (1). Система (3) всегда будет иметь единственное решение, поскольку ее определитель, известный в алгебре как

определитель Вандермонда

составленный из попарно различных значений элементов (а различными они в данной ситуации будут всегда), не равен нулю. Отсюда и вытекают существование и единственность решения системы (3) и, следовательно, многочлена (1).

Совершенно очевидно, что интерполяционный многочлен меньшей степени, вообще говоря, не существует¹, а большей существует, но не единственен. Поэтому интерполяция стандартно производится многочленами, степень которых на единицу мень­ше числа узлов.

¹ Разумеется, может случиться, что какие-то коэффициенты в Р(x), в том числе и а₀, равны нулю.