Аппроксимация сплайнами.

Интерполирование на всем отрезке [a,b] многочленом Лагранжа или Ньютона приводит к плохому приближению даже с использованием большого числа узлов интерполяции N.

Для уменьшения погрешности весь отрезок [а,b] разбивают на отдельные участки и для каждого строят интерполяционный полином невысокой степени. Это существенно повышает точность интерполирования, но аппроксимирующая функция будет иметь точки, где производная не является непрерывной (график будет иметь изломы).

Кубические сплайны лишены этого недостатка и нашли широкое практическое применение в силу их простоты. Теория кубических сплайнов сформировалась в результате математического описания гибких реек из упругого материала.

Рис.7

Если закрепить гибкую линейку, или гибкий тонкий стержень из упругого материала в двух соседних узлах интерполяции, то между точками закрепления этот стержень примет некоторую форму.

Пусть форма стержня определена функцией y=φ(x). Известно, что уравнение свободного равновесия φ⁴(x)=0. Поэтому функция φ(x) перед каждой парой соседних узлов интерполяции является многочленом 3 степени. Запишем её в виде:

(1)

x_j-1≤x≤x_j j=2,3,…,n

Для определения коэффициентов a_j-1,b_j-1,c_j-1,d_j-1 на всех (n-1) элементарных отрезках необходимо получить 4(n-1) уравнений, где n - полное число экспериментальных данных.

Часть уравнений составляются из условия прохождения функции через заданные точки эксперимента. При этом

(2)

(3)

Эта система содержит 2(п-1) уравнений. Для получения недостающих уравнений используем условие непрерывности первых и вторых производных в узлах интерполяции. Для этого определим производные многочлена (1) и

j=2,3,…,n

Если приравнять в каждом внутреннем узле х=х_j значения этих производных, вычисленные в левом и правом от узла интервалах получим ещё 2(п-1)-2 уравнений

(4)

(j=2,3,…,n-1) (5)

Недостающие 2 уравнения получим из условий закрепления концов сплайна. При свободном закреплении концов сплайна можно приравнять к нулю кривизну линий в этих точках. Такая функция называется свободным кубическим сплайном. Если нулевая кривизна на концах сплайна, то вторые производные в этих точках равны нулю.

;

(6)

Уравнения (2) – (6) – линейные алгебраические уравнения для определения 4(n-1) коэффициентов (j=2,3,…,n)

Из условия (2) находят все коэффициенты a_j-1

(j=2,3,…,n)

Затем из уравнения (5) и (6) получим следующее выражение:

(j=2,3,…,n-1)

(7)

Если подставить соотношение (7), а так же значение a_j-1=y_j-1 в уравнение (3), no^s'fflffi то получим коэффициент b_j-1:

(j=2,3,…,n-1)

(8)

Учитывая формулы (7) и (8) заменим в уравнении (4) коэффициенты d_j-1 и b_j-1. Получим в окончательном виде систему уравнений для определения коэффициента c_j-1

C₁=0, C_n-1=0

(j=2,3,…,n-2) (9)

По найденным из уравнения коэффициентам c_j-1 легко вычислить коэффициенты d_j-1 и b_j-1.

Пример: Интерполяция кубическим сплайном кривой намагничивания (рис.1). Составим таблицу экспериментальных данных и по уравнениям (7)-(9) определим a_j, b_j, c_j, d_j.

j	xj	yj	hj-1	aj-1	bj-1	cj-1	dj-1
1	0	0	-	-	-	-	-
2	2	1.1	2	0	0.638	0	-0.02212
3	15	1.45	9	1.35	-0.076	0.0145	-0.0005367
4	80	1.5	65	1.45	0.00077	0	0

Согласно данным таблицы:

0≤x≤2 φ₁(x)=0+0,638496(x-0)+0(x-0)²-0.02212(x-0)³

2≤x≤15 φ₂(x)=1,1+0,3971(x-2)-0,1327(x-2)²+0,0122(x-2)³

15≤x≤80 φ₃(x)=1,45+0,00077(x-15)+0(x-15)²+0(x-15)³

Рис. 8

Сплайн функцией называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке [а,b] и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных.

Анализ рис.8 показывает плохое качество аппроксимации в средней части кривой намагничивания: φ₂(х) не совпадает с функцией у = В(Н).