Введение Что такое численные методы?
Решение задачи. Физиков, математика ин6тересует не сама по себе, а как средство решения физических задач. Рассмотрим, как решается любая реальная задача, будь то, производительность проектируемой установки или себестоимость продукции строящегося завода.
Одним из способов является эксперимент. Но понятно, что это будет точный но долгий и очень дорогой способ.
Другой способ - математический анализ конструкции или явления. Такой анализ применяется не реальным явлениям, а к математическим моделям этих явлений.
Поэтому первая стадия работы – формулировка математической модели (постановка задачи). Для физического процесса модель состоит из уравнений, описывающих процесс. Это очень важный этап, так как если мы поставим задачу не достаточно точно (используем менее важные характеристики или параметры в данном конкретном случае), то наше решение может быть не только далеким от реального, но и абсолютно неправильным, какие бы методы расчетов мы не использовали.
Вторая стадия работы – это математическое исследование. В зависимости от сложности модели применяются различные математические подходы. Для наиболее грубых и несложных моделей удается получить аналитическое выражение. Но точность данного подхода будет невелика. Для более точных и сложных моделей аналитические решения удается получить значительно редко, обычно в этом случае пользуются приближенными математическими методами, получающими удовлетворительные количественные и качественные результаты (например, разложением по малому параметру). Для более сложных и точных моделей основными методами решения являются численные, они требуют, как правило, проведения расчетов с помощью ЭВМ. Эти методы зачастую позволяют добиться хорошего количественного описания явления, не говоря уже о качественном.
И третья стадия работы – осмысливание математического решения и сопоставления его с экспериментальными данными. Если расчеты хорошо согласуются с экспериментом, то модель выбрана правильно, и ее можно использовать для расчетов процесса данного типа, если же нет, то модель надо уточнять.
Численные методы являются одним из мощных средств решения математических задач (простейший – извлечение квадратного корня). Часто требуется выполнить огромное число действий в короткие сроки, иначе ответ будет не нужен (например, суточный прогноз погоды д.б. рассчитан за несколько часов, коррекция траектории ракеты и т.д). Современные численные методы и мощные ЭВМ позволяют решать очень сложные задачи. Но применять численные методы далеко не просто, так как ЭВМ может выполнять только арифметические и логические операции. Поэтому помимо разработки мат. Модели требуется разработка алгоритма, который сводил бы все вычисления к последовательности арифметических и логических операций.
Для сложных задач разработка численных методов и написания программ для ЭВМ достаточно трудоемки, могут занимать время от нескольких дней до нескольких лет. Стоимость комплекса отлаженных программ нередко сравнима со стоимостью экспериментальной физической установки. Зато проведение отдельного расчета по такому комплексу много дешевле и быстрее, чем проведение отдельного эксперимента. Такие комплексы позволяют подбирать оптимальные параметры исследуемых конструкций , что не под силу эксперименту.
Однако численные методы не всесильны и не отменяют остальные методы. Начиная исследовать проблему, целесообразно использовать простейшие модели, аналитические выражения и прикидки, а только потом переходить к более сложным, уточненным моделям. Современные инженер должен владеть одинаково хорошо как классическими методами, так и численными методами математики