- •1.Первообразная
- •2. Неопределенный интеграл.
- •3. Методы интегрирования.
- •Функция r является нечетной относительно sinx.
- •9. Интеграл вида
- •10. Интегрирование биноминальных дифференциалов.
- •12. Определенный интеграл.
- •13. Формула Ньютона – Лейбница) теорема
- •14. Вычисление площадей плоских фигур.
- •16. Вычисление длины дуги кривой.
- •17. Несобственные интегралы.
- •20. Вычисление объемов тел.
- •22. Условный экстремум.
- •23. Функции нескольких переменных
- •24.Полный дифференциал фнп
- •26. Производная от сложной фнп Теорема.
- •27.Инвариантность формы полного дифф.
- •28.Касательная и нормаль к поверхности
- •30.Градиент
- •31.Теорем о связи производной по направлению с градиентом.
- •32. Частные производные высших порядков.
- •33. Экстремум функции нескольких переменных
- •34. Экстремум функции нескольких переменных
- •35.Теорема. (Достаточные условия экстремума).
- •37.Нахождение наибольшего,меньшего знач фпн
- •39.Нахождение интегралов вида Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.
- •43.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •46. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши.
- •47. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
- •48. Теорема о структуре решения общего линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
- •49. Определитель Вронского и его свойства.
- •50 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •58. Метод исключения для решения систем дифференциальных уравнений.
- •59. Метод Эйлера(матричный метод) для решения однородных систем с постоянными коэффициентами.
- •60. Линейный дифференциальный оператор и его свойства.
1.Первообразная
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:
F(x) = f(x).
Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.
F1(x) = F2(x) + C.
2. Неопределенный интеграл.
Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
F(x) + C.Записывают:
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.
Свойства: 1.
2.
3.
4.
3. Методы интегрирования.
Непосредственное интегрирование.
Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием.
Способ подстановки (замены переменных).
Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:
Интегрирование по частям.
(uv) = uv + vu
;
Интегрирование элементарных дробей.
Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.
= II.
Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:
I. II. III. IV.
m, n – натуральные числа (m 2, n 2) и b2 – 4ac <0.
4. замены переменных.
Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:
Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:
По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:
f(x)dx = f[(t)](t)dt
что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.
5. Теорема о производной от неопределённого интеграла
Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:
и
6. Интегрирование по частям.
Если функции u = (x) и v = (x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:
Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приводить его нет смысла.
7. Интеграл вида
Если хотя бы одно из чисел m или n – нечетное, то, отделяя от нечётной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы sin2x+cos2x=1 оставшуюся четную степень через кофункцию, приходим к табличному интегралу
8. Интеграл вида .
Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.
Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.
,
Тогда
Таким образом: =
Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.
Интеграл вида если
функция R является нечетной относительно cosx.
Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.
Функция может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.
Интеграл вида если