§8. Доверительная вероятность. Доверительный интервал

 Определение. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.

При выборе малого объема точечная оценка значительно отличается от оцениваемого параметра, что приводит к грубым ошибкам. В этом случае применяют интервальную оценку.

Пусть оценка неизвестного параметра θ (θ – постоянное число).

Оценка тем точнее, чем меньше число δ в неравенстве .

Число δ характеризует точность оценки.

Статистические методы не позволяют категорически подтверждать, что удовлетворяет неравенству , можно лишь говорить о вероятности, с которой осуществимо это неравенство.

 Определение. Доверительной вероятностью (надёжностью) оценки по называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство .

Р() = γ. (8)

Обычно в качестве доверительной вероятности γ выбирают γ = 0,9; 0,95; 0,99.

Преобразуем (8):

Р() = γ. (9)

Равенство (9) означает, что с вероятностью γ неизвестное значение параметра попадет в интервал

(10)

Ранее рассматривали вероятность попадания случайных величин в заданный интервал.

В данном случае величина не случайна (  число, хотя и неизвестное), зато случаен интервал (10), случайно его положение на оси абсцисс, определяемое центром , случайна длина.

Поэтому γ – не вероятность попадания точки  в интервале (10), а вероятность того, что случайный интервал (10) накроет точку  .



 Определение. Доверительным называют интервал , который накрывает параметр с заданной доверительной вероятностью γ.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания

нормального распределения при известном σ

(σ – среднее квадратное отклонение)

Дано: Количественный параметр Х генеральной совокупности распределен нормально.

 плотность.

Математическое ожидание a – неизвестно.

Среднее квадратическое отклонение – известно.

Требуется: оценить а по средней выборочной .

Данные выборки и среднее выборочное будем рассматривать как случайные величины и , одинаково распределённые с математическим ожиданием a и средним квадратическим отклонением .

,

; .

Пусть выполняется Р( )= γ, где γ – заданная вероятность.

Из курса теории вероятностей известна формула: Р( ) = . Заменим X на , на .

Р( ) = = , где .

Тогда . Следовательно, Р( )= .

Вернемся к обозначению как . Получим

Р( .

Итак, с достоверной вероятностью γ можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр a. Точность оценки . Число t определяется из равенства , или .

При заданной доверительной вероятности по таблице функции Лапласа (табл. 2) находят значение t.

Пример 10. Количественный параметр X распределен нормально, . Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания a по выборочной средней , если объем выборки n = 36 и доверительная вероятность = 0,95.

Решение.

; .

– доверительный интервал.

Если, например, , то (3,12; 5,08).

Смысл результата: если произведено достаточно большое число выборок, то 95% из них определяют такие доверительные интервалы, в которых неизвестное математическое ожидание а действительно заключено. Лишь в 5% случаев а может выйти за границы доверительного интервала.

Вычисление объема выборки при заданных и

Пусть требуется оценить математическое ожидание, если заданы доверительная вероятность и точность оценки .

Точность оценки . Тогда .

Значит, – минимальный объем выборки, который обеспечит заданную точность .

Замечание. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном .

X – количественный признак, распределён нормально. a, – неизвестны.

Требуется оценить a .

Можно доказать, что  доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание a с доверительной вероятностью , где – выборочная средняя; – исправленное среднее квадратическое отклонение; – квантиль распределения, который находят по таблице 3 по заданным и .

Задачи _______________________________________________________ 

1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания a нормально распределённого признака Х генеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратичное отклонение σ = 4, выборочная средняя и объём выборки n = 16.

2. На овцеводческой ферме из стада произведена выборка для взвешивания 36 овец. Их средний вес оказался равным 50 кг. Предположив распределение веса нормальным и определив несмещённую оценку выборочной дисперсии S² = 16, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надёжностью 0,95.

3. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000 ч. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности a горения лампы всей партии, если известно, что продолжительность горения лампы распределена нормально.

4. Найти минимальный объём выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания a генеральной совокупности по выборочной средней равна δ = 0,3, если известно среднее квадратичное отклонение σ = 1,2 нормально распределённой генеральной совокупности.

5. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределённой генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известно среднее квадратичное отклонение генеральной совокупности σ = 1,5.

6. Из генеральной совокупности извлечена выборка:

xi	-2	1	2	3	4	5
ni	2	1	2	2	2	1

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание a нормально распределённого признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

7. Из генеральной совокупности извлечена выборка:

xi	-0,5	-0,4	-0,2	0	0,2	0,6	0,8	1	1,2	1,5
ni	1	2	1	1	1	1	1	1	2	1

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание a нормально распределённого признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

8. По данным выборки объёма n = 50 из генеральной совокупности нормально распределённого количественного признака найдено исправленное среднее квадратичное отклонение s = 14. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратичное отклонение σ с надежностью 0,999.

9. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Статистическое распределение выборки представлено в таблице:

xi	3	5	7	8	10	12	14
ni	3	7	4	6	7	5	8

Найти с надежностью 0,97 доверительный интервал для оценки математического ожидания и с надежностью 0,95 – для оценки среднего квадратичного отклонения.

10. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Статистическое распределение выборки представлено в таблице:

xi	1	3	5	7	9
ni	2	5	4	6	3

Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для оценки математического ожидания и с надежностью 0,99 – для оценки среднего квадратичного отклонения.