Эмпирическая функция распределения

 Определение. Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(х), определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х < х.

где n_x – число вариантов (число х_i) меньших х; n – объем выборки.

Свойства:

1. Значение F*(х) принадлежит отрезку [0, 1]: ;

2. F*(х) – неубывающая функция;

3. Если x_i – наименьшее наблюдаемое значение, х_k – наибольшее наблюдаемое значение, то F*(х) = 0 при ;

F*(х) = 1 при .

Пример 7. Пусть результаты наблюдений представлены в виде следующего ДСР (данные примера 3):

xi	1	2	3	4	5	6	7
wi	1/20	2/20	3/20	4/20	5/20	3/20	2/20

Объём выборки по условию примера n = 20. Наименьшая варианта равна 1, значит, m_x = 0 при x ≤ 1. Тогда при x ≤ 20. Следующая варианта в ранжированном ряду равна 2. Рассмотрим 1 < x ≤ 2. В этом случае неравенство X < x выполняется для варианты x₁ = 1. Эта варианта встречается один раз в выборке, поэтому m_x = 1 и .

Далее, если 2 < x ≤ 3, то неравенство X < x выполняется для вариант x₁ = 1 и x₂ = 2. Варианта x₁ встречается один раз, а варианта x₂ встречается два раза, поэтому m_x = 1 + 2 = 3 и и т.д. Следовательно, аналитически функция определяется следующим образом:

Замечание. Вообще, если известен ДСР, то Здесь xk совпадает с xmax.

Суммы обычно называются накопленными относительными частотами.

Построим график по данным примера 7 (рис. 6).

Рис. 6

Если результаты наблюдений представлены в виде ИСР, то выборочную функцию строят иначе.

Пример 8. Рассмотрим для этого следующий вариационный ряд:

[xi; xi+1)	[0; 10)	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)
wi	1/30	2/30	3/30	4/30	5/30
[xi; xi+1)	[50; 60)	[60; 70)	[70; 80)	[80; 90)	[90; 100]
wi	5/30	4/30	3/30	2/30	1/30

Очевидно, что для функция , т.к. m_x = 0. Пусть теперь . В этом случае число не определено, т.к. неизвестно, сколько выборочных значений случайной величины, принадлежащих этому интервалу, меньше x. Если x = 10, то m_x = 1. Следовательно, в этом случае . Рассуждая аналогично, убеждаемся, что точками, в которых значение функции можно определить, являются правые концы интервалов и все точки интервала . Значение функции в указанных точках можно записать в виде таблицы:

x		10	20	30	40	50	60	70	80	90
	0										1

Так как эта таблица определяет функцию не полностью (не для всех x известны ее значения), то при графическом изображении данной функции ее доопределяют, соединив точки графика, соответствующие концам интервалов, отрезками прямой. В результате график функции будет представлять собой непрерывную линию. Подобный график выборочной функции часто называют кумулятивной кривой (от англ. accumulation – накопление).

Построим график по данным примера 8 (рис. 7).

Рис. 7

Задачи _______________________________________________________ 

1. Для проведения демографических исследований выбрали 50 семей и получили следующие данные о количестве членов семьи:

2	5	3	4	1	3	6	2	4	3
4	1	3	5	2	3	4	4	3	3
2	5	3	4	4	3	3	4	4	3
2	5	3	1	4	3	4	2	6	3
2	3	1	6	4	3	3	2	1	7

Составить ДСР.

2. В ходе проведения эксперимента получен следующий набор данных:

32	26	16	44	28	40	30	31	17	30
37	32	42	31	36	49	35	21	25	40
27	25	33	34	27	43	19	23	36	48
31	35	43	32	26	35	33	45	19	22
28	49	23	32	33	27	43	35	23	44

Составить ИСР, выбрав число интервалов группирования, равное 7.

3. На телефонной станции проводились наблюдения над числом X неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты:

3	1	3	1	4	2	2	4	0	3
0	2	2	0	2	1	4	3	3	1
4	2	2	1	1	2	1	0	3	4
1	3	2	7	2	0	0	1	3	3
1	2	4	2	0	2	3	1	2	5
1	1	0	1	1	2	2	1	1	5

Составить ДСР.

4. Управление сельского хозяйства Костромского района представило сводку по пятидесяти хозяйствам. Согласно этой сводке урожайность ржи в них составила (в центнерах с гектара):

17,5	17,8	18,6	18,3	19,1	19,9	20,6	20,1	22,0	21,4
17,5	18,5	19,0	20,0	22,0	20,6	19,1	18,6	17,9	19,1
22,0	19,0	17,5	22,0	22,0	21,0	21,4	19,0	17,8	18,3
19,9	20,1	21,4	18,5	20,0	20,6	18,6	21,4	21,0	20,0
20,0	18,0	18,0	18,0	17,5	18,6	19,1	20,6	17,5	18,6

Составить ИСР.

5. Наблюдается число выигрышей в мгновенной лотерее. В результате наблюдения получены следующие значения выигрышей (тыс. руб.):

0	1	0	0	5	0	10	0	1	0
0	1	5	1	0	0	1	0	1	0
0	0	0	5	0	5	0	0	1	1
1	5	1	10	0	1	1	0	5	0
0	0	0	1	0	1	0	5	0	0
0	0	1	0

Составить ДСР.

6. В таблице приведена выборка результатов измерения роста 105 студентов (юношей). Измерения проводились с точностью до 1 см:

155	170	185	180	188	152	173	178	178	168
185	173	170	183	175	173	170	183	175	180
175	193	178	183	180	197	178	181	187	168
174	179	184	183	178	180	178	163	166	178
175	182	190	167	170	178	183	170	178	181
173	168	185	175	170	155	169	186	179	189
155	174	179	179	169	186	174	171	184	175
193	178	184	180	196	175	181	188	168	179
178	183	184	178	181	177	163	166	178	175
183	190	167	170	178	183	170	178	182	173
168	186	176	171	188

Составить ИСР.

7. В супермаркете проводились наблюдения над числом X покупателей, обратившихся в кассу за один час. Наблюдения в течение 30 часов (15 дней в период с 9 до 10 и с 10 до 11 часов) дали следующие результаты:

70	75	100	120	75	60	100	120	70	60
65	100	65	100	70	75	60	100	100	120
70	75	70	120	65	70	75	70	100	100

Число X является дискретной случайной величиной, а полученные данные представляют собой выборку из n = 30 наблюдений. Составить ИСР.

8. В городе A для определения сроков гарантийного обслуживания проведено исследование величины среднего пробега автомобилей, находящихся в эксплуатации в течение двух лет с момента продажи автомобиля магазином. Получен следующий результат (тыс. км):

3,0	25,0	18,6	12,1	10,6	18,0	17,3	29,1	20,0	18,3
21,5	26,7	12,2	14,4	7,3	9,1	2,9	5,4	40,1	16,8
11,2	9,9	25,3	4,2	29,6

Составить ИСР.

9. Средняя месячная зарплата за год каждого из пятидесяти случайно отобранных работников хозяйства такова (тыс. руб.):

317	304	230	285	290	320	262	274	205	180
234	221	241	270	257	290	258	296	301	150
160	210	235	308	240	370	180	244	365	130
170	250	370	267	288	231	253	315	201	256
279	285	226	367	247	252	320	160	215	350

Здесь случайной величиной X является средняя месячная зарплата. Составить ИСР.

10. На фирме работает 39 человек. Проведено исследование числа рабочих дней, пропущенных каждым работником фирмы в течение месяца. Результаты этого исследования таковы:

0	1	3	0	2	3	5	7	3	5
2	10	7	5	0	2	5	10	5	3
1	9	15	10	1	0	2	3	5	7
7	6	5	3	0	7	10	13	0

Составить ИСР. Найти функцию распределения случайной величины числа пропущенных дней и построить ее график.

11. Найти эмпирическую функцию распределения по данному ДСР и построить ее график:

а)

xi	1	3	7	9	12
ni	2	10	4	24	10

б)

xi	-2	0	5	8	14
ni	3	17	28	22	10

12. Найти эмпирическую функцию распределения по данному ИСР и построить ее график:

[xi; xi+1)	[0; 2)	[2; 4)	[4; 6)	[6; 8)	[8; 10)
ni	6	4	2	18	29
[xi; xi+1)	[10; 12)	[12; 14)	[14; 16)	[16; 18]
ni	11	10	17	3

а) б)

[xi; xi+1)	[11; 14)	[14; 17)	[17; 20)	[20; 23)
ni	16	24	30	7
[xi; xi+1)	[23; 26)	[26; 29)	[29; 32)	[32; 35]
ni	8	6	5	4

13. Построить полигоны частот и относительных частот распределения по данному ДСР:

    xi	1	3	5	7	9
    ni	10	15	30	33	12

14. Построить полигон частот по данному ДСР:

    xi	1	4	5	7
    ni	20	10	14	6

15. Построить полигоны относительных частот по данному ДСР:

    xi	1	2	3	5
    wi	0,4	0,2	0,3	0,1

16. Построить гистограмму частот по данному ИСР:

    [xi; xi+1)	[5; 10)	[10; 15)	[15; 20)	[20; 25)
    ni	4	6	16	36
    [xi; xi+1)	[25; 30)	[30; 35)	[35; 40]
    ni	24	10	4

17. Построить гистограмму относительных частот по данному ИСР:

    [xi; xi+1)	[2; 5)	[5; 8)	[8; 11)	[11; 14]
    wi	0,18	0,2	0,5	0,12

18. Построить гистограмму относительных частот по данному ИСР:

    [xi; xi+1)	[3,2; 3,4)	[3,4; 3,6)	[3,6; 3,8)	[3,8; 4,0)	[4,0; 5,0]
    wi	0,1	0,2	0,5	0,2	0,2

19. Построить гистограмму относительных частот по данному ИСР:

    [xi; xi+1)	[6,67; 6,69)	[6,69; 6,71)	[6,71; 6,73)	[6,73; 6,75)	[6,75; 6,77)
    ni	2	15	17	44	52
    [xi; xi+1)	[6,77; 6,79)	[6,79; 6,81)	[6,81; 6,83)	(6,83; 6,85]
    ni	44	14	11	1

20. Построить гистограмму относительных частот по данному ИСР:

    [xi; xi+1)	[3; 5)	[5; 7)	[7; 9)	[9; 11)
    ni	20	25	15	13
    [xi; xi+1)	[11; 13)	[13; 15)	[15; 17]
    ni	12	8	7

21. Построить гистограмму относительных частот по данному ИСР:

[xi; xi+1)	[-2; 2)	[2; 6)	[6; 10)	[10; 14)	[14; 16)
ni	5	25	40	12	18

22. Построить гистограмму относительных частот по данному ИСР:

[xi; xi+1)	[60; 65)	[65; 70)	[70; 75)	[75; 80]
ni	30	20	25	25