§6. Генеральная дисперсия. Выборочная дисперсия. Оценка генеральной дисперсии по исправленной дисперсии

 Определение. Генеральной дисперсией D_Г называют среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака Х генеральной совокупности от его среднего значения .

Если различны, то , где N – объём выборки.

Если имеют частоты , то .

 Определение. Генеральным средним квадратическим отклонением называют .

 Определение. Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если различны, то .

Если имеют частоты , то .

Замечание. При решении практических задач выборочную дисперсию удобнее находить по следующей формуле:

(3)

 Определение. Выборочным средним квадратичным отклонением называют .

Задача. По данным выборки найти оценку для неизвестной D_Г.

Если в качестве оценки для _DГ взять D_В, то эта оценка является смещённой, а именно

(без доказательства). (4)

Значит, эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам (давая заниженное значение генеральной дисперсии).

Для получения несмещенной оценки исправим выборочную дисперсию, умножив её на .

 Определение. Исправленной (эмпирической) дисперсией называется

. (5)

Значит,

, или ,

где – несмещённая оценка генеральной дисперсии D_Г.

Действительно,

Можно доказать, что – состоятельная оценка D_Г, а значит также состоятельная оценка D_Г (т.к. множитель при ).

Замечание. При больших значениях n обе оценки и различаются мало и введение поправочного коэффициента теряет смысл.

Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют исправленное среднее квадратическое отклонение . не является несмещённой оценкой _Г.

 Определение. Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.

Рассмотренные оценки являются точечными.

Пример 9. Выборка задана следующим ДCР. Найти смещённую и исправленную оценку для дисперсии.

xi	-2	-1	0	1	2
ni	10	20	40	20	10

Решение. Предварительно найдем для каждой варианты соответствующую относительную частоту и результаты внесем в таблицу. Объём выборки n = 100.

xi	-2	-1	0	1	2
ni	10	20	40	20	10
wi	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Найдем смещённую оценку генеральной дисперсии – воспользуемся формулой (3): .

Выборочную среднюю найдем по формуле (2): . Отсюда, .

Несмещённую оценку генеральной дисперсии найдем по формуле (5): .

Задачи _______________________________________________________ 

1. Из генеральной совокупности извлечена выборка. Найти несмещённую оценку генеральной средней.

   xi	2	5	7	10
   ni	16	12	8	14

2. Из генеральной совокупности извлечена выборка. Найти несмещенную оценку генеральной средней.

   xi	1	3	6	26
   ni	8	40	10	2

3. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки:

   xi	2560	2600	2620	2650	2700
   ni	2	3	10	4	1

4. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

   xi	340	360	375	380
   ni	20	50	18	12

5. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

   xi	0,01	0,04	0,08
   ni	5	3	2

6. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

   xi	0,1	0,5	0,6	0,8
   ni	5	15	20	10

7. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

   xi	18,4	18,9	19,3	19,6
   ni	5	10	20	5

8. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

   xi	102	104	108
   ni	2	3	5

9. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

   xi	0,1	0,5	0,7	0,9
   ni	6	12	1	1

10. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

xi	23,5	26,1	28,2	30,4
ni	2	3	4	1