§5. Генеральная средняя. Выборочная средняя. Оценка генеральной средней по выборочной средней

Пусть требуется изучить генеральную совокупность относительно количественного признака X.

[Распределение признака и в генеральной, и в выборочной совокупности будем считать дискретными, т.к. от непрерывных распределений всегда можно перейти к дискретным.]

 Определение. Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака X генеральной совокупности.

Если значения различны, то

.

Поскольку исследуемый признак X можно рассматривать как случайную величину, возможные значения которой имеют одинаковую вероятность (вероятность извлечь объект со значением равна ), то

Итак, . (1)

Если значения имеют соответственно частоты , причем , то

Формула (1) остается справедливой и в этом случае.

Замечание. Все рассуждения были приведены, когда X  дискретная случайная величина.

При непрерывном распределении признака X по определению полагают .

Для изучения генеральной совокупности относительно признака X извлекается выборка объёма n.

 Определение. Выборочной средней называют среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

Если различны, то

Если имеют соответственно частоты , причём , то

(2)

Выборочная средняя, найденная по данным одной выборки, есть число. Если извлекать из этой генеральной совокупности другие выборки того же объекта, то выборочная средняя будет изменяться от выборки к выборке.

Задача. Пусть из генеральной совокупности извлечена повторная выборка объема n со значениями признака (будем считать их различными). Генеральная средняя неизвестна. Требуется оценить по данным выборки. Выборочную среднюю принимают в качестве оценки генеральной средней.

– оценка .

Будем рассматривать как случайную величину ; как независимая одинаково распределенные величины , имеющие то же распределение, что и X.

Докажем, что средняя выборочная – несмещённая оценка генеральной средней, т.е. .

имеют то же распределение, что и X. Обозначим , следовательно, , . Тогда

, следовательно, , что и требовалось доказать.

Докажем, что выборочная средняя  состоятельная оценка генеральной средней.

Предположим, что Х₁, Х₂, …, Х_n имеют ограниченные дисперсии. Тогда согласно частному случаю теореме Чебышёва

или ,что и требовалось доказать.

Итак, – несмещённая состоятельная оценка .

Замечания.

1. Выборочные средние, найденные по нескольким выборкам достаточно большого объёма из некоторой генеральной совокупности, приближенно равны между собой.

2. Предполагали, что выборка повторная. Однако полученные выводы применимы и для бесповторной выборки, если её объём значительно меньше объема генеральной совокупности.

3. Эффективность или неэффективность зависит от вида закона распределения признака X. Если X распределена по нормальному закону, то будет минимально возможной, т.е. средняя выборочная является эффективной оценкой.