2.4. Примеры решения задач

Задача 2.5

Под током утечки в задаче понимается ток между обкладками заряженного конденсатора, возникающий из-за того, что проводимость диэлектрических слоев отлична от нуля.

Прежде чем приступать непосредственно к решению задачи, обоснуем следующее утверждение: если между обкладками конденсатора поддерживается постоянное напряжение, вектор плотности тока является непрерывной функцией координат. Применительно к плоскому конденсатору, изображенному на рис.2.24, это значит, что

, (*)

г де и значения плотности тока в соответствующих слоях диэлектрика. Действительно, в случае неравенства этих векторов на границе раздела слоев накапливался бы электрический заряд; в результате напряжение и ток между обкладками не могли бы оставаться постоянными, что противоречит условию задачи. По сути, соотношение (*) является частным случаем закона сохранения заряда (формула 2.1г).

1. С учетом вышесказанного, а также закона Ома в дифференциальной форме (2.1в), значения напряженности электрического поля в слоях удельным сопротивлением и равны соответственно

и . (**)

2. С другой стороны, подобно тому, как это было показано в примере к задаче 1.69, напряжение между обкладками равно сумме напряжений в слоях: . С учетом формул (**) после элементарных преобразований получаем

мкА.

Задача 2.16

Из закона Ома для участка цепи, содержащего э.д.с. (2.2б), следует, что показания вольтметра

. (*)

При этом следует помнить, что выражения (2.2б) и (*) справедливы в случае положительного направления тока (при котором источник ЭДС совершает положительную работу, как на рис. 2.5,б). Что касается процесса зарядки аккумулятора (рис.2.5,а), работу над ним совершает внешний источник с большей электродвижущей силой, чем ЭДС аккумулятора. При этом ток через аккумулятор течет в отрицательном направлении, а показания вольтметра

. (**)

Будучи применены к условиям задачи, выражения (*) и (**) дают систему уравнений для определения неизвестных величин и :

(***)

Решение системы уравнений (***) имеет вид:

а) В; б) Ом.

Задача 2.28

Будем рассматривать гальванометр с добавочным сопротивлением как единый прибор (рис.2.25). Пусть в цепи гальванометра течет ток . При этом показания гальванометра равны цене одного деления его шкалы. В то же время напряжение между клеммами 1 и 2 равно . Очевидно, это напряжение имеет смысл цены деления шкалы вновь созданного прибора.

Задача 2.40

Применительно к цепи, изображенной на рис.2.17, второе правило Кирхгофа (2.2в) дает . В зависимости от положения движка реостата сопротивление нагрузки может принимать любое значение в интервале . Максимальное значение силы тока в цепи достигается при крайней левой позиции движка реостата и называется током короткого замыкания . Из условия задачи следует, что . В крайней правой позиции движка . Здесь учтено, что данная позиция движка эквивалентна разрыву цепи. Таким образом, диапазон возможных значений силы тока определяется системой неравенств .

1. По определению мощностью источника называют работу сторонних сил за единицу времени: .

В соответствии с (2.2а) получаем:

. (*)

График этой зависимости изображен на рис. 2.26,а. Источник развивает максимальную мощность при коротком замыкании ( ).

2. Мощность , вырабатываемая источником ЭДС, и тепловые мощности и , выделяющиеся на сопротивлении нагрузки и внутреннем сопротивлении источника, связаны соотношением ¹. Зависимость мощности тепловых потерь от силы тока дается непосредственно выражением (2.3а): . Для того чтобы получить выражение для полезной мощности как функции силы тока и заданных параметров источника и , воспользуемся полученными выше выражениями (в частности, формулой *) . Итак,

. (**)

Г рафики зависимостей и см. на рис. 2.26б и 2.26в соответственно. Анализ формул (**) показывает, что максимальное значение полезной мощности достигается при положении движка, которое соответствует значению сопротивления нагрузки . При этом мощность тепловых потерь также равна . В обоих крайних положениях, соответствующих короткому замыканию и разрыву цепи, полезная мощность .

3. Коэффициент полезного действия (к.п.д.) цепи определяется как отношение мощности, выделяемой на нагрузке, к мощности источника ЭДС. Воспользовавшись формулами (*) и (**), получим

. (***)

При , когда на нагрузке выделяется максимальная мощность, к.п.д. цепи (рис.2.26,г).

Задача 2.49

1. Для вычисления работы сторонних сил необходимо предварительно определить количество заряда, протекающего между клеммами источника э.д.с. после замыкания ключа К. Введем обозначения: и – величина заряда на обкладках конденсатора до и после замыкания ключа. Соответствующие значения напряжения между обкладками:

и .

Поэтому , а . Искомый заряд, перенесенный между клеммами источника, . Знак этого заряда в условиях данной задачи оказался отрицательным. Так получается потому, что заряд перемещается от положительной клеммы к отрицательной, то есть против направления действия сторонних сил. Таким образом, работа источника отрицательна (см. определение 2.2а):

. (*)

2. Аналогично, используя определение (1.3д), вычислим изменение энергии конденсатора после его перезарядки:

. (**)

3. Учитывая, что потерями энергии на излучение предлагается пренебречь, уравнение энергетического баланса можно записать в виде , где джоулевское тепло, рассеянное в проводах цепи и на внутреннем сопротивлении источника (см. предыдущий пример). С учетом формул (*) и (**) окончательно получим

.