3. Магнитостатика

3.1. Магнитное поле в вакууме Основные определения

• Магнитное поле точечного заряда, движущегося со скоростью :

, (3.1а)

где радиус-вектор, проведенный от заряда.

• Закон Био - Савара:

или . (3.1б)

• Поток вектора через произвольную замкнутую поверхность :

. (3.1в)

• Циркуляция вектора , как функция алгебраической суммы токов , пронизывающей контур циркуляции:

. (3.1г)

• Магнитный момент плоского контура с током :

, (3.1д)

где правовинтовая нормаль к площади контура.

1. В круговом витке радиусом мм, изготовленном из тонкого провода, циркулирует ток А. Найти магнитную индукцию: а) в центре витка; б) на оси витка в точке, отстоящей от центра на расстоянии мм.

1. Найти магнитную индукцию , создаваемую прямым бесконечно длинным проводником, по которому течет ток на расстоянии от проводника.

2. Определить величину магнитной индукции , создаваемую током , текущим по прямому тонкому проводу (рис.3.1) в точках 1 и 2. Расстояния и от этих точек до провода, а также углы и считать известными.

3. П о двум длинным параллельным проводам, находящимся на расстоянии см друг от друга, протекают токи А. Определить индукцию магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии см от каждого провода. Задачу решить для случаев, когда токи текут: а) в одном направлении; б) навстречу друг другу.

4. Найти индукцию магнитного поля в центре прямоугольного контура, если известны его диагональ , угол между диагоналями и сила тока в контуре .

5. Найти индукцию магнитного поля в центре контура, представляющего собой равносторонний треугольник со стороной . Сила тока в контуре .

6. Сила тока в проводнике, состоящем из прямого участка длиной и полуокружности радиусом (рис.3.2), равна I. Определить магнитную индукцию ,создаваемую в точке О, являющейся центром полуокружности.

7. Круговой виток радиусом см расположен относительно бесконечно длинного провода так, что его плоскость параллельна проводу. При этом нормаль к плоскости витка направлена точно на провод (рис.3.3). Сила тока в проводе А, сила тока в витке А. Расстояние от точки О (центра витка) до провода см. Определить магнитную индукцию в центре витка.

8. П ровод с током изогнут, как показано на рис. 3.4,а-г. Определить в каждом случае магнитную индукцию в центре закруглений (точка О). Параметры, изображенные на рисунках, считать известными.

9. Полусфера радиусом ориентирована относительно однородного магнитного поля так, что магнитный поток через нее принимает максимальное значение. Чему он равен?

1. П о длинному проводнику цилиндрической формы течет однородный ток плотностью . Радиус сечения проводника равен . Найти индукцию магнитного поля как функцию расстояния от оси проводника.

1. То же, если плотность тока , где и – положительные постоянные.

2. Определить индукцию магнитного поля тока, равномерно распределенного: а) по плоскости с линейной плотностью¹ ; б) по двум параллельным плоскостям с линейными плотностями и .

3. Однородный ток плотностью течет внутри неограниченной пластины толщиной параллельно ее поверхности. Найти индукцию магнитного поля как функцию расстояния от средней плоскости пластины.

4. Найти плотность тока как функцию расстояния от оси аксиально-симметричного параллельного потока электронов, если индукция магнитного поля внутри потока зависит от как , где и – положительные постоянные.

5. Соленоид представляет собой катушку длиной и радиусом сечения (рис.3.5). На катушку вплотную намотано витков из тонкого провода, по которым течет ток . Найти индукцию магнитного поля в точках 1 и 2.

6. Н а тороид, размеры которого указаны на рис.3.6, вплотную намотано витков из тонкого провода. Сила тока в витках равна . Найти индукцию в плоскости симметрии тороида как функцию расстояния от его центра.

7. Определить магнитный момент : а) соленоида (задача 3.16); б) контура, изображенного на рис.3.4г; в) тороида (задача 3.17, при условии ).

8. Тонкое кольцо массой г и радиусом см несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью нКл/м. Кольцо равномерно вращается с частотой с^-1 относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через ее центр. Определить: а) магнитный момент кругового тока, создаваемого кольцом; б) отношение магнитного момента к моменту импульса кольца.

9. Сфера радиусом , несущая на себе равномерно распределенный по ее поверхности заряд , вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью . Найти магнитный момент этой сферы.

10. То же для шара, заряд которого равномерно распределен по его объему.