4. Потенциал электростатического поля. Циркуляция напряженности электрического поля. Работа перемещения заряда в электрическом поле. Энергия системы электрических зарядов.

Потенциал электростатического поля, определяется как отношение потенциальной энергии пробного заряда q к величине этого заряда, φ = W_п / q, откуда следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. Единицей измерения потенциала служит Вольт (1 В).

Работа перемещения заряда. На положительный точечный заряд q в электрическом поле с напряжённостью E действует сила F = q E. При перемещении заряда на отрезке dl силами поля совершается работа dA = F dl = q E dl cos (E, dl). При перемещении заряда q силами электрического поля на произвольном конечном отрезке из точки 1 в точку 2 эта работа равна

 Рассмотрим перемещение точечного заряда q в поле точечного заряда Q, напряженность поля которого 

Проекция отрезка dl на направление вектора E (рис. 1.5) есть dr = dl cos (E, dl).

Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, определяется следующим образом:

Отсюда следует, что работа сил электрического поля не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положениями заряда q. Если оба заряда, q и Q, положительны, то работа сил поля положительна при удалении зарядов и отрицательна при их взаимном сближении.

Для электрического поля, созданного системой зарядов Q₁, Q₂,…, Q_n, работа перемещения заряда q равна алгебраической сумме работ составляющих сил:

 .

Циркуляция вектора напряженности электрического поля. Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру длиной l, определяется как циркуляция вектора напряженности электрического поля:

Так как для замкнутого пути положения начальной и конечной точек перемещения заряда совпадают, то работа сил электрического поля на замкнутом пути равна нулю, а значит, равна нулю и циркуляция вектора напряженности, т.е.

 .

Равенство нулю означает, что силы электрического поля являются силами консервативными, а само поле - потенциальным.

Потенциальная энергия системы точечных зарядов. В случае электростатического поля потенциальная энергия служит мерой взаимодействия зарядов. Пусть в пространстве существует система точечных зарядов Q_i (i = 1, 2, ... ,n). Энергия взаимодействия всех n зарядов определится соотношением

 ,

где r_ij - расстояние между соответствующими зарядами, а суммирование производится таким образом, чтобы взаимодействие между каждой парой зарядов учитывалось один раз.

5. Уравнение Пуассона

Используя дифференциальные соотношения, описывающие свойства электростатического поля  и  ,

сформулируем уравнение, которое находит применение во многих разделах физики. Поскольку градиент функции   представляет собой векторную функцию, то к нему можно применить операцию дивергенции:

div E = - div grad   ,

в декартовых координатах

где  оператор Лапласа, являющийся суммой вторых производных по координатам. Так что с учетом теоремы Гаусса

.

Это и есть уравнение Пуассона. Уравнение Пуассона является дифференциальным эквивалентом интегрального соотношения, по которому вычисляется потенциал. В тех областях пространства, где заряды отсутствуют (или φ = 0), оно превращается в уравнение

,

называемое уравнением Лапласа. В большинстве случаев классическая теория поля занимается исследованием решений этого уравнения. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, относятся к классу гармонических функций.