3) Применение теоремы Гаусса для расчета электрического поля заряженных тел

а) Поле равномерно заряженной плоскости.

Электрическое поле, создаваемое бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскостью, является однородным – в каждой точке пространства вне плоскости его напряженность всюду одинакова. Направлено это поле перпендикулярно к плоскости в обе стороны (рис.2.5). Поэтому для потока вектора напряженности поля через произвольно выбранную цилиндрическую поверхность, опирающуюся на элемент плоскости ΔS, можем написать: , откуда , где - поверхностная плотность заряда. Размерность в СИ: .

Рис.2.5. Поле равномерно заряженной плоскости.

Таким образом, искомая напряженность электрического поля равномерно заряженной плоскости .

б) Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)

Рис. 1.13. Электрическое поле равномерно заряженного цилиндра

Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен равномерно; линейная плотность заряда равна l. Из соображений симметрии следует, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим коаксиальный с заряженным цилиндр радиуса r и высотой l (рис. 1.13 а). Поскольку вектор напряженности параллелен торцам, поток сквозь основания цилиндра равен нулю, и .  Отсюда при r  R . Если r < R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0. График зависимости E от r приведен на рис. 1.13 б.

в) Поле объемно заряженного шара.

Ш ар радиуса R с общим зарядом Q равномерно заряжен с объемной плотностью +ρ . Поле обладает сферической симметрией и потому силовые линии направлены радиально.

Проведем мысленно сферу, радиуса r с центром, совпадающим с центром заряженного шара.

При r>R внутрь поверхности попадает весь заряд Q. По теореме Остроградского-Гаусса

→

При r<R внутри мысленной поверхности содержится заряд

Тогда, по теореме Остроградского-Гаусса

→

Таким образом, внутри равномерно заряженного шара напряженность поля изменяется линейно.

г) Диэлектрический шар.

Р

ассмотрим шар, с условной диэлектрической проницаемостью ε = 1, равномерно заряженный по объему с плотностью заряда (рис.2.8).

Размерность объемной плотности заряда в СИ: .

Рис.2.8. Поле равномерно заряженного диэлектрического шара.

Полный заряд шара, очевидно, есть: .

Имеем по теореме Гаусса:

1) Внутри шара (r < R): , где Δq = - заряд внутренней области шара, ограниченной выбранной сферической поверхностью радиуса r. Отсюда находим: .

2) Вне шара (r > R): , откуда = ,

то есть вне заряженного диэлектрического шара электрическое поле такое же, как и в случае металлического шара.

На рис.2.9 показан качественный ход зависимостей E(r) для металлического и диэлектрического шаров.

металл Рис.2.9. Зависимость E(r). диэлектрик