Задание 13. Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения вероятности

Непрерывные случайные величины характеризуются тем, что их значения могут сколь угодно мало отличаться друг от друга. Вероятность события Х<x (где Х - значение непрерывной случайной величины, а х – произвольное задаваемое значение), рассматриваемая как функция от х, называется функцией распределения вероятностей:

. (36)

Производная от этой функции распределения вероятностей называется функцией плотности распределения вероятностей или плотностью вероятности:

. (37)

Функция распределения вероятностей выражается через плотность вероятности в виде интеграла:

. (38)

Вероятность попадания случайной величины Х в интервал равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале:

(39)

Случайная величина Х распределена по нормальному закону, если она определена

на всей числовой оси и имеет плотность

, (40)

где - математическое ожидание; - среднее квадратическое отклонение.

Нормальный закон является наиболее распространенным законом распределения. Ему подчиняются практически все случайные величины, значения которых получаются непосредственным измерением или какими-нибудь линейными преобразованиями измеренных величин.

График нормальной плотности называют нормальной кривой или кривой Гаусса.

Рис. 7. Кривая Гаусса

Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал находится по формуле.

, (41)

где - функция Лапласа.

Значение функции Лапласа для различных значений можно найти в любом учебнике или задачнике по теории вероятностей.

Пример. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (15,25).

Решение: Воспользуемся формулой (41). Подставив в нее , получим: .

Задание 14. Математическая статистика. Выборочная средняя и выборочная дисперсия

Совокупность всех объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения, или совокупность всех возможных наблюдений, проводимых в одинаковых условиях над некоторой случайной величиной, называется генеральной совокупностью. Генеральная совокупность может содержать конечное или бесконечное число элементов.

Отобранные из генеральной совокупности объекты (результаты наблюдений над конечным числом объектов из генеральной совокупности) называется выборочной совокупностью или выборкой. Число N элементов генеральной совокупности или число п элементов выборки называют объемами генеральной и выборочной совокупности соответственно. Обычно .

Пусть в результате проведения в одинаковых условиях независимых опытов получена п значений исследуемой случайной величины Х (выборка объема п). Расположенные в виде таблицы полученные данные

,

где - результат - того опыта, называют простой статистической совокупностью, а величины - вариантами. Последовательность вариант , записанная в порядке возрастания, называется вариационным рядом.

Для каждой варианты определяют частоту - число ее появлений в простой совокупности, а также относительную частоту .

Если получено большое число данных, а в статистике оперируют, как правило, сотнями и тысячами значений, то их преобразуют в так называемый статистический (интервальный) ряд. Для этого весь диапазон полученных значений случайной величины Х разбивают на разряды (интервалы). Для каждого разряда подсчитывают число попавших в него значений из совокупности вариант и относительные частоты .

Выборочной средней называ­ют среднее арифметическое значений выборки. Если все значения выбор­ки х₁, x₂, … ,x_n различны, то или

Если же варианты х₁,x₂,…,x_k имеют соответственно частоты n₁, n₂, …,n_k, то выборочное среднее вычисляется по формуле:

. (42)

Для характеристики рассеивания выборочных значений относительно выбо­роч­ного среднего вводится понятие выборочной дисперсии. Выборочной диспер­сией называется среднее арифметическое квад­ратов отклонений наблю­дае­мых значений от выборочного среднего. Если все значения выборки различны, то

. (43)

Если значения выборки имеют соответствующие частоты, то

. (44)

Выборочным средним квадратичным отклонением называется ариф­метический квадратный корень из выборочной дисперсии

Пример:

Найти по заданному вариационному ряду выборки выборочное среднее , выборочную дисперсию .

xi	5	10	15	20	25
ni	1	5	20	14	10

Выборочное среднее вычисляется по формуле (42):

.

Выборочную дисперсию вычисляем по формуле (44):

Контрольные задания 1 и 2

В контрольную работу № 1 входят задания 1 - 6

В контрольную работу № 2 входят задания 7- 14.

При выполнении контрольной работы на титульном листе указывается:

фамилия, имя, отчество;

номер студенческого билета;

название дисциплины, номер контрольной работы, номер варианта.

Номер варианта соответствует последней цифре номера студенческого билета.

К.Р. № 1

НЕЧЕТНЫЙ ГОД ПОСТУПЛЕНИЯ

1-10, 21-30, 41-50, 61-70, 81-90, 101-110

ЧЕТНЫЙ ГОД ПОСТУПЛЕНИЯ

11-20, 31-40, 51-60, 71-80, 91-100, 111-120

К.Р. № 2

НЕЧЕТНЫЙ ГОД ПОСТУПЛЕНИЯ

121-130, 141-150, 161-170, 181-190, 201-210, 221-230, 241-250, 261-272

ЧЕТНЫЙ ГОД ПОСТУПЛЕНИЯ

131-140, 151-160, 171-180, 191-200, 211-220, 231-240, 251-260, 271-280

Контрольная работа № 1

1-20. Даны координаты точек А₁, А₂, А₃. А₄. Найти:

а) векторы А₁А₂; А₃А₄; А₁А₂ + 0,5А₃А₄

б) длину вектора А₃ А₄

в) угол между векторами А₁А₂ и А₃А₄

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

17

21-40. Даны координаты вершин треугольника А, В, С. Найти уравнения сторон АВ и АС и угол между ними. Сделать чертеж

№	А	В	С	№	А	В	С
21.	(-5, 3)	(10,6)	(1, 5)	31	(14, 5)	(4, 5)	(-5,-8)
22.	(-7, 1)	(5, 0)	(2, 5)	32	(10, 2)	(2, 0)	(5, -2)
23.	(5, 1)	(0, 3)	(-2, 4)	33	(0, -2)	(-2, 1)	(3, 1)
24.	(5, 2)	(-1, 0)	(4, 4)	34	(-1, 2)	(1, -1)	(-5, 1)
25.	(2, -2)	(3, -4)	(2, -1)	35	(4, 8)	(-3, 3)	(7, 5)
26.				36	(4, 4)	(5, 2)	(-1, 0)
27.				37	(-2, 4)	(5, 1)	(0, 3)
28.	(-2, 1)	(3, 1)	(0, -2)	38
29.	(-3, 3)	(7, 5)	(4, 8)	39	(1, 5)	(-5, 3)	(10,6)
30	(2, 0)	(5, -2)	(10, 2)	40

41-60. Предел функции. Вычислить предел функций

41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60

61-80. Непрерывность функции. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж функции

61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.

81-100. Найти производные указанных функций

81		91
82		92
83		93
84		94
85		95
86		96
87		97
88		98
89		99
90		100

101-120. Исследовать функцию и построить ее график

101		111
102		112
103		113
104		114
105		115
106		116
107		117
108		118
109		119
110		120