Задание 12. Дискретные случайные величины

Дискретная случайная величина - это переменная величина, которая принимает дискретные (отделенные друг от друга) значения “случайным образом”, т.е. принятие каждого из допустимых значений является случайным событием.

Пусть дискретная случайная величина Х принимает возможные значения х₁, х₂, х₃,... В результате опыта случайная величина принимает одно и только одно из этих значений, другими словами произойдет одно из несовместных событий, образующих полную группу: . Обозначим вероятность этих событий буквами р с соответствующими индексами: . Так как указанные события образуют полную группу, то сумма вероятностей появления возможных значений случайной величины равна 1: .

Обычно закон распределения дискретной случайной величины Х задается в виде таблицы, где в первой строчке стоят возможные значения случайной величины (х₁, х₂, х₃,...), а во второй - вероятности с которыми принимаются эти значения (р₁, р₂, р₃,...):

Х	х1	х2	х3	...	хк	...
Р	р1	р2	р3	...	рк	...

С помощью таблицы распределения можно найти вероятность попадания дискретной случайной величины в заданный интервал.

Существенные особенности случайных величин можно описать некоторыми числовыми параметрами, которые называются числовыми характеристиками, важнейшими из которых являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Числовые характеристики случайной величины имеют вполне определенный смысл. Так, например, математическое ожидание М(Х) - это теоретическое среднее значение случайной величины, дисперсия D(X) - мера рассеяния (разброса, колебаний, вариации) значений случайной величины около среднего значения. Если случайная величина имеет размерность, то математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение ее имеют ту же размерность, а размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение находятся по формулам:

.

Пример:

Написать закон распределения числа выпадений герба при 2-х подбрасываниях монеты. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа выпадений герба.

Запишем закон распределения случайной величины Х – числа выпадений герба:

	0	1	2
	1/4	1/2	1/4

так как

- вероятность, что оба раза герб не выпадет,

- вероятность, что один раз выпадет герб,

- вероятность, что оба раза выпадет герб.

Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа выпадений герба:

,

,

.

Вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал определяется по тем ее значениям, которые попадают в этот интервал, затем по теореме сложения вероятностей несовместных событий суммируются соответствующие вероятности.