- •Раздел 1 Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •Раздел 2 Введение в математический анализ
- •Раздел 3 Основы дифференциального и интегрального исчисления
- •Раздел 4 Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Раздел 5 Вероятность и элементы математической статистики
- •Литература
- •Задание 1. Векторы. Длина вектора. Угол между векторами
- •Задание 2. Прямая на плоскости. Угол между прямыми
- •Задание 3. Предел функции
- •Задание 4. Непрерывность функции и точки разрыва
- •Задание 5. Производная функции
- •Задание 6. Исследование функции
- •Задание 7. Приложения определенного интеграла
- •Задание 8. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Теория вероятностей Задание 9. Непосредственный подсчет вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Задание 12. Дискретные случайные величины
- •Задание 13. Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения вероятности
- •Задание 14. Математическая статистика. Выборочная средняя и выборочная дисперсия
- •Контрольная работа № 2
- •Испытания по схеме Бернулли
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Объединением (суммой) событий A1, A2, ..., An называется событие A, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий. Обозначается одним из следующих способов
A = A1 A2 ... An A1 + A2 + ... + An.
Пример. В урне 6 шаров, которые отличаются лишь номером i, . Событие Ai - наугад выбрать шар под номером i. Событие A = A1 + A3 + A5 состоит в том, что будет выбран шар с номером 1 или 3 или 5, т.е. с нечетным номером.
Пересечением (произведением) событий A1, A2, ..., An называется событие B, состоящее в обязательном наступлении всех этих событий. Обозначается пересечение событий так
Пример. В урне 12 шаров, среди которых одна половина белых с номерами от 1 до 6, а другая черных с такими же номерами. Пусть A - "вынуть белый шар", B - " вынуть шар с нечетным номером. Тогда событие
C = AּB
означает " выбрать белый шар с нечетным номером".
События называются совместными, если они могут происходить одновременно. Несовместные события - это такие, которые не могут происходить одновременно.
Пример совместных событий:
А - "сегодня вторник",
В - "сегодня на улице идет дождь".
Пример несовместных событий:
D - "сейчас месяц сентябрь",
Е - "сейчас месяц декабрь".
А + В - "сегодня или вторник или на улице идет дождь",
D + T - "сейчас или сентябрь или декабрь".
Сформулируем основные теоремы.
Теорема 1. (сложение несовместных событий).
Если А и В - несовместные события, то
. (33)
Теорема 2. (сложение совместных событий).
Если А и В - совместные события, то
. (34)
В последней теореме встречается произведение событий АВ, которое означает одновременное наступление и события А и события В.
Например, если
А - "сегодня вторник",
В - "сегодня на улице идет дождь",
то событие АВ состоит в том, что "сегодня вторник и на улице идет дождь".
События А и В называются независимыми, если появление одного события не влияет на появление другого события. В приведенном выше примере события А и В - независимы.
События называются зависимыми, если появление одного события влияет на появление другого события.
Пример зависимых событий:
С - "сейчас март месяц",
F - "сегодня Международный женский день".
Для решения задач на нахождение вероятности произведения событий следует пользоваться следующими двумя теоремами:
Теорема 3. (умножение независимых событий).
Если А и В - независимые события, то
. (35)
Теорема 4. (умножение зависимых событий).
Если А и В - зависимые события, то
. (36)
В последней теореме встречается условное событие В|А, которое означает наступление В, при условии, что событие А уже наступило.
Например, если события
С - "сейчас март месяц",
F - "сегодня Международный женский день",
то
,
.
Воспользуемся теоремами 1 - 4 и формулами (33) - (36) для решения следующих задач:
Задача 1. Два охотника стреляют по одной мишени и имеют вероятности попадания 0,7 и 0,8 соответственно. Оба сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что
а) в мишени ровно две пробоины,
б) в мишени хотя бы одна пробоина,
в) в мишени ровно одна пробоина?
Решение.
Введем обозначения: событие А - попал первый охотник, - первый охотник промахнулся, В - попал второй охотник, - второй охотник промахнулся, С - в мишени ровно две пробоины, D - в мишени хотя бы одна пробоина, Е - в мишени ровно одна пробоина. Очевидно, что
С = АВ, D = А + В, Е = A + B.
Действительно, событие С состоит в том, что произошло и событие А, и событие В одновременно, то есть произошло произведение событий АВ. Событие D состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий А или В, то есть сумма событий А + В, и, наконец, событие С состоит в том, что А произошло а В нет или В произошло а А нет. Учитывая, что А и В независимые события (вероятность попадания одного из охотников не зависит от того попал другой или нет) и вероятности противоположных событий равны
Р ( ) = 1 - Р(А) = 0,3 и Р ( ) = 1 - Р(В) = 0,2 , получаем
Р(С) = 0,70,8 = 0,56 ,
Р(D) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,7 + 0,8 - 0,7х0,8 = 0,94 ,
Р(Е) = Р(А)Р( ) + Р( )Р(В) = 0,7х0,2 + 0,3х0,8 = 0,38.
Задание 10. Формула полной вероятности и формула Байеса
Теорема. Если событие А может наступить только совместно с появлением одного из событий некоторой полной группы несовместных событий (события этой группы называются гипотезами), то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности
(34)
Или, кратко: , (34*)
где - вероятность гипотезы , - условная вероятность события А при условии осуществления гипотезы .
Задача 2. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25 %, а вторая – 35 %, третья – 40 % всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2 %.
а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?
в) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой машиной?
Решение.
а) Обозначим за событие – болт сделан на первой машине, за событие – болт сделан на второй машине, за событие – болт сделан на третьей машине. Тогда:
– вероятность того, что болт сделан на первой машине. Соответственно .
Пусть событие А – болт бракован, тогда – вероятность, что брак выпущен первой машиной, соответственно .
Р(А) = 0,25 · 0,05 + 0,35 · 0,04 + + 0,40 · 0,02 + 0,0125 + 0,014 + 0,008 = 0,0345.
б) – вероятность того, что дефектный болт произведен первой машиной вычисляется по формуле Байеса, которая позволяет «пересмотреть» вероятности гипотез после того, как стало известно, что событие А наступило, т.е.:
. (35)
В нашем случае: .
Задание 11. Независимые испытания. Формула Бернулли
Пусть проводится п независимых испытаний (т.е. исход в каждом из испытаний не зависит от исходов в других испытаниях), вероятность появления события А в каждом из них неизменна и равна р. Тогда вероятность того, что в п испытаниях событие А появится ровно т раз определяется формулой Бернулли:
= , где . (36)
Задача 3. Что вероятнее выиграть у равносильного противника: а) три партии из четырех или пять из восьми; б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми, если ничьих не бывает?
Решение.
Для равносильных противников вероятность выигрыша (проигрыша) одинакова, то есть .
а) Вероятность выигрыша m партий из n , т.е. задается формулой Бернулли
В первом случае n=4, m=3. Следовательно, вероятность выиграть три партии из четырех
.
Когда n=8, а m=5, то
.
Следовательно, .
б) Вероятность выиграть не менее трех партий есть сумма вероятностей выиграть три или четыре партии из четырех, так как эти события несовместны, то
.
(Напомним, что 0!=1).
Аналогично, вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми
То есть, .
Следовательно, выиграть не менее пяти партий из восьми вероятнее.