Задание 1. Векторы. Длина вектора. Угол между векторами

Даны три точки , , . Требуется найти векторы , и угол между ними.

Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала, то есть в нашем случае это будет:

,

.

Для нахождения длины вектора можно воспользоваться формулой:

(1)

Угол между векторами и можно найти из формулы для скалярного произведения векторов:

(2)

где само скалярное произведение вычисляется через координаты векторов по формуле:

(3)

Пример:

Пусть даны точки А(1, 2, 3), В(3, 4, 2), С(2, 1, 4).

Находим координаты векторов:

= (3-1, 4-2, 2-3) = (2, 2, -1);

= (2-1, 1-2, 4-3) = (1, -1, 1).

Их длины и скалярное произведение:

,

,

.

Вычисляем косинус угла между векторами и :

,

что дает значение угла (определяем по таблицам или с помощью калькулятора):

.

Задание 2. Прямая на плоскости. Угол между прямыми

Даны три точки , , на плоскости, являющиеся вершинами треугольника. Требуется написать уравнения сторон треугольника и определить углы треугольника.

Рис.1. Треугольник на плоскости

Чтобы написать уравнение стороны АВ треугольника, используем вид уравнения прямой, проходящей через две точки:

(4)

а угол между двумя прямыми АВ и АС найдем, записав соответствующие уравнения в виде уравнений с угловым коэффициентом:

(5)

Тогда тангенс угла между указанными прямыми определяется по формуле:

(6)

При нахождении тангенса может оказаться, что знаменатель равен нулю, то есть . Данное обстоятельство говорит о том, что тангенс не определен, а угол между прямыми равен , то есть прямые перпендикулярны.

Пример:

Пусть даны точки А(1, 2), В(3, 5), С(2, 3).

Определим стороны АВ и АС треугольника АВС:

Рис.2. Треугольник АВС

, то есть ,

, то есть .

Таким образом, угловые коэффициенты прямых соответственно равны:

откуда получаем значение тангенса угла А:

,

а угол определяем по таблицам или с помощью калькулятора:

.

Аналогичным образом находится уравнение стороны ВС и углы В и С.

Задание 3. Предел функции

Для нахождения пределов функции бывает полезной следующая теорема:

Теорема.

Если при существуют пределы функций и , то:

1. ; (7)

2. ; (8)

3. , где ; (9)

4. , где - постоянный множитель. (10)

Пример 1

Пусть требуется вычислить следующий предел .

Так как

, а ,

то по теореме о пределе частного получаем, что

.

Если при нахождении пределов возникают неопределенности следующего вида: , , , , , то их надо раскрывать соответствующим образом.

Для раскрытия неопределенности вида при можно числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень x.

Пример 2

При нахождении предела

мы разделили числитель и знаменатель почленно на наивысшую степень и учли, что дроби стремятся к нулю при .

При раскрытии неопределенности вида при требуется выделить в числителе и в знаменателе дроби множитель , стремящийся к нулю, и сократить дробь на этот общий множитель.

Пример 3

.

Здесь мы в числителе и знаменателе выделили множитель при , на который затем сократили дробь.