- •Раздел 1 Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •Раздел 2 Введение в математический анализ
- •Раздел 3 Основы дифференциального и интегрального исчисления
- •Раздел 4 Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Раздел 5 Вероятность и элементы математической статистики
- •Литература
- •Задание 1. Векторы. Длина вектора. Угол между векторами
- •Задание 2. Прямая на плоскости. Угол между прямыми
- •Задание 3. Предел функции
- •Задание 4. Непрерывность функции и точки разрыва
- •Задание 5. Производная функции
- •Задание 6. Исследование функции
- •Задание 7. Приложения определенного интеграла
- •Задание 8. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Теория вероятностей Задание 9. Непосредственный подсчет вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Задание 12. Дискретные случайные величины
- •Задание 13. Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения вероятности
- •Задание 14. Математическая статистика. Выборочная средняя и выборочная дисперсия
- •Контрольная работа № 2
- •Испытания по схеме Бернулли
Теория вероятностей Задание 9. Непосредственный подсчет вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей
При решении задач по теории вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Поэтому остановимся прежде на некоторых понятиях и формулах комбинаторики.
Теория соединений (комбинаторика) рассматривает различные наборы (различные множества) элементов, выбранных из некоторого исходного набора этих элементов. Наборы составляются по определенным правилам и называются соединениями.
Правило произведения: если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами, то пара объектов (АВ) в указанном порядке может быть выбрана mх n способами.
Правило произведения распространяется на случай трех и более объектов.
Пример. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0; 1; 2; 3; 4; 5?
Решение. Первую значащую цифру четырехзначного числа можно выбрать 5 способами, вторую, третью и четвертую – 6 способами, следовательно, количество таких чисел по правилу произведения .
Правило суммы: если некоторый объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран п способами, то выбрать либо А либо В можно m+n способами.
Пример. Пусть а – число, делящееся на 2; b – число, делящееся на 3. Сколькими способами можно выбрать или а или b из множества чисел .
Решение. Число а можно выбрать двумя способами (2; 4), а число одним способом (3), тогда по правилу суммы .
Пусть дано множество, состоящее из п различных объектов. Из него можно выбрать т объектов двумя способами: без возвращения и с возвращением выбранного объекта в исходное множество. Рассмотрим схему выбора без возвращения.
Размещениями называют комбинации, составленные из п различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.
Обозначение - . Число всех возможных размещений находится по формуле:
|
(28) |
Заметим, что: n (n-1) (n-2) ... 2 1 n!; 1!=1; 0!=1.
Пример. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани 5 различных цветов?
Решение. .
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок определяется по формуле:
|
(29) |
Пример. Сколькими способами 6 человек могут сесть на 6 стульев?
Решение. .
Сочетаниями называют комбинации, составленные из п различных элементов по m , которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний вычисляют по формуле:
|
(30) |
Заметим: - правило симметрии; .
Число перестановок и сочетаний связано равенством:
|
(31) |
Пример. Алексей хочет пригласить в гости троих из своих 7 друзей. Сколькими способами это можно сделать? .
Формула классической вероятности имеет вид:
, |
(32) |
где - число всевозможных исходов, - число благоприятных исходов.
Примеры.
Воспользуемся формулой (32) для решения следующих задач:
Задача 1. В ящике 5 белых и 4 черных шара. Наудачу вынимают три. Какова вероятность, что среди них два белых и один черный шар?
Число всех возможных исходов - это число сочетаний из 9 по 3. Поэтому
Число вариантов выбора 2 белых из 4 белых - это число сочетаний из 4 по 2, то есть
,
и так как каждая пара может выпасть с любым из 4 черных шаров, то число благоприятных исходов равно произведению m = 6x4 = 24.
Тогда вероятность события “из ящика взяли 2 белых и 1 черный шар”
.
Задача 2. На 10 карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0. Наудачу выбирают три карточки и раскладывают их в порядке появления. Какова вероятность, что получится число 120?
Поскольку в этом примере важен порядок цифр, то число всех возможных исходов
Благоприятный исход только один, поэтому искомая вероятность
.