13. Геометрическая интерпретация игры 2×2

Решение игры 2×2 допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Пусть игра задана платежной матрицей Р = a_ij , i, j = 1, 2. По оси абсцисс (рис. 3.1) отложим единичный отрезок A₁ A₂ ; точка A₁(х=0) изображает стратегию A₁, а все промежуточные точки этого отрезка — смешанные стратегии SA первого игрока, причем расстояние от S_A до правого конца отрезка — это вероятность p₁ стратегии A₁, расстояние до левого конца — вероятность p₂ стратегии A₂. На перпендикулярных осях I—I и II—II откладываем выигрыши при стратегиях A₁ и A₂ соответственно. Если 2-й игрок примет стратегию B₁, то она дает выигрыши a₁₁ и a₂₁ на осях I—I и II—II, соответствующие стратегиям A₁ и A₂. Обозначим эти точки на осях I—I и II—II буквой B₁. Средний выигрыш v₁, соответствующий смешанной стратегии S_A, определяется по формуле математического ожидания v₁ = a₁₁ p₁ + a₂₁ p₂ и равен ординате точки M₁, которая лежит на отрезке B₁ B₁ и имеет абсциссу S_A (рис. 3.1).

Рис. 3.1 Рис. 3.2

Аналогично строим отрезок B₂ B₂, соответствующий применению вторым игроком стратегии B₂ (Рис. 3.2). При этом средний выигрыш v₂ = a₁₂ p₁ + a₂₂ p₂ — ордината точки M₂.

В соответствии с принципом минимакса оптимальная стратегия S*_A такова, что минимальный выигрыш игрока А (при наихудшем поведении игрока В) обращается в максимум. Ординаты точек, лежащих на ломаной (рис. 3.3), показывают минимальный выигрыш игрока А при использовании им любой смешанной стратегии (на участке B₁ N — против стратегии B₁ , на участке NB₂ — против стратегии B₂). Оптимальную стратегию S*_A = ( p*₁ , p*₂ ) определяет точка N, в которой минимальный выигрыш достигает максимума; ее ордината равна цене игры v. На рис. 3.3 обозначены также верхняя и нижняя цены игры α и β.

Рисунок 3.3

14. Экономический смысл двойственной задачи линейного программирования

В теме 1 рассмотрена задача об использовании ресурсов (экономико-математичекая модель и содер- жательная интерпретация этой задачи I представлены в левой части табл. 5.1). В приведенной модели b_i (i = 1, 2, . . . , m) обозначает запас ресурса S_i; aij — число единиц ресурса S_i, потребляемого при производстве единицы продукции P_j (j = 1, 2, . . . , n); c_j — прибыль (выручка) от реализации единицы продукции P_j (или цена продукции P_j).

Предположим, что некоторая организация решила закупить ресурсы S₁, S₂, . . . , S_m предприятия и необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы y₁, y₂, . . . , y_m.

Очевидно, что покупающая организация заинтересована в том, чтобы затраты на все ресурсы Z в количествах b₁, b₂, . . . , b_m по ценам соответственно y₁, y₂, . . . , y_m были минимальны, т.е.

Z = b₁ y₁ + b₂ y₂ + . . . + b_m y_m → min .

С другой стороны, предприятие, продающее ресурсы, заинтересовано в том, чтобы полученная выруч- ка была не менее той суммы, которую предприятие может получить при переработке ресурсов в готовую продукцию. На изготовление единицы продукции P₁ расходуется a₁₁ единиц ресурса S₁, a₂₁ единиц ресурса S₂, ..., a_i1 единиц ресурса S_i, ..., a_m1 единиц ресурса S_m по цене соответственно y₁, y₂, ..., y_m. Поэтому для удовлетворения требований продавца затраты на ресурсы, потребляемые при изготовлении единицы продукции P₁, должны быть не менее ее цены c₁, т.е.

a₁₁ y₁ + a₂₁ y₂ +...+a_m1 y_m (больше или равно) c₁.

Аналогично можно составить ограничения в виде неравенств по каждому виду продукции P₁, P₂, . . . , P_n . Экономико-математическая модель и содержательная интерпретация полученной таким образом двойственной задачи II приведены в правой части табл. 5.1.

Цены ресурсов y₁, y₂, . . . , y_m в экономической литературе получили различные названия: учетные, неявные, теневые. Смысл этих названий состоит в том, что это условные, «ненастоящие» цены. В отличие от «внешних» цен c₁ , c₂ , . . . , c_n на продукцию, известных, как правило, до начала производства, цены ресурсов y₁ , y₂ , . . . , y_m являются внутренними, ибо они задаются не извне, а определяются непосредственно в результате решения задачи, поэтому их чаще называют оценками ресурсов.