8. Опр. Эластичности в общем виде. Функция Кобба-Дугласа. Вычислить .

Эластичностью функции y=f(x) называется предел отношения относительных изменений переменных х и у.

Функция Кобба-Дугласа в общем виде: ,где Y – объем производства, K – затраты капитала, L- затраты труда.

А α,β-коэффициенты частной эластичности объема производства У и соответстствующие по затратам труда L и капитала K.

Это значит, что при увеличении одних только затрат капитала (труда) на 1%, объем производства увеличится на α%(β%).

Коэффициентом частной эластичности функции относительно переменной называется предел отношения относительного частного приращения функции к относительному приращению этой переменной при , т. е.

Не трудно убедиться, что для функции Кобба-Дугласа .

9. Теорема Неймана.

Каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно оптимальное решение, возможно, среди смешанных стратегий.

Пример игры, не имеющей седловую точку:

, т.е. игра не имеет седловых точек

Пример игры, имеющей седловую точку:

В данной матрице минимальные (гарантированные) выигрыши первого игрока по строкам равны 1, 5 и (-3). Следовательно, его максиминному выбору будет отвечать стратегия 2, гарантирующая выигрыш 5. Для второго игрока максимальные проигрыши по столбцам матрицы составят 8, 10, 5, 17, поэтому имеет смысл остановиться на стратегии 3, при которой он проиграет только 5. Таким образом, вторая стратегия первого игрока и третья стратегия второго образуют седловую точку со значением 5.

10.Сформулируйте эластичность в общем виде для функции нескольких переменных лпф.

11. Записать задачу лп для матричной игры 3 х 3

На практике можно пользоваться следующим алгоритмом, который рассмотрим на примере игры 3х3, которая задана платежной матрицей:

.

Найти оптимальные стратегии игроков и цену игры: .

1) Преобразуем платежную матрицу: увеличим все ее элементы на число g:

– модуль минимального элемента матрицы, увеличенный на единицу;

Если все элементы платежной матрицы положительны, то можно считать и решать задачу линейного программирования для исходной платежной матрицы.

2) Записать задачу линейного программирования для игрока А:

Найти значения переменных , при которых функция достигает минимального значения и удовлетворяющих условиям:

3) Решить записанную задачу симплексным методом и перейти от ее решения к решению матричной игры для игрока А:

, , , .

4) Записать задачу линейного программирования для игрока В:

Найти значения переменных , при которых функция достигает максимального значения и удовлетворяющих условиям:

3) Решить записанную задачу симплексным методом и перейти от ее решения к решению матричной игры для игрока А:

, , .

Цена игры является общей для обоих игроков (выполнение этого условия является элементом проверки правильности решения).

12. Дайте определение оптимальности по Слейтеру. Приведите пример.

Решение x ∈ X- оптимально по Слейтеру, если не существует такого y ∈ X, что

f_i(y)>f_i(x), i=1...m

т.е. если нельзя улучшить решение одновременно по всем критериям.

На рис. изображено множество векторов, доминирующих точку y по Слейтеру.