1. Дайте определение производственной функции и ее свойства.

Производственная функция выражает зависимость результата производства (объема выпускаемой продукции) от факторов производства (затраченных ресурсов).

Свойства:

-без ресурсов нет выпуска, т.е. f(0,0,a)=0;

-при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска, т.е. ;

-с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет;

-с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет, т.е. если x>0, то ;

-с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности), т.е. если то ;

-при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает, т.е. если x>0, то ;

ПФ является однородной функцией, т.е. ; при р>1 имеем рост эффективности производства от роста масштаба производства; при р<1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства; при р=1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба.

2. Доказательство принципа оптимальности Беллмана

Сформулированный Р. Беллманом принцип оптимальности гласит: отрезок оптимального процесса от любой его точки до конца процесса сам является оптимальным процессом с началом в данной точке.

Принцип оптимальности легко доказывается от противного. Пусть x(t) = x* - некоторая точка оптимальной траектории, то есть состояние системы вдоль оптимального процесса в момент t, 0 < t < < N. Рассуждая от противного, предположим, что отрезок этого процесса от момента t до момента N не является оптимальным процессом для системы (1), (2) в смысле критерия качества

при начальном условии x(t) = x*. Значит, существуют допустимое управление и соответствующая ему траектория , для которых критерий Jt из (5) принимает меньшее значение, чем на исходном оптимальном процессе. На рис. 1 исходная оптимальная траектория x(t) показана красной ломаной, а траектория - голубой. Наряду с исходным оптимальным процессом x(k), k = 0, 1, _, N, рассмотрим процесс, состоящий из двух участков: исходного процесса x(k) при k = = 0, 1, _, t и "улучшенного" процесса при k = = t + 1, _, N. Для этого составного процесса критерий J из (4) будет иметь меньшее значение, чем для исходного процесса, так как сумма первых t слагаемых в (4) для составного процесса останется той же, что и для исходного процесса, а сумма остальных слагаемых, равная Jt из (5), уменьшится по сравнению с исходным процессом. Данное утверждение означает, что исходный процесс не является оптимальным, а это противоречит сделанному предположению.

3.Определение функции полезности и ее свойства.

Функцией полезности U=U(x_1,x_2,…x_n) называется функция, описывающая предпочтения потребителей на множестве товаров X_1,X_2,…X_n и выражающая ценность набора товаров в количествах x_1,x_2,…x_n соответственно. При этом, если U(x_1,x_2,…x_n)> U(y_1,y_2,…y_n) для двух различных наборов x=(x_1,x_2,…x_n) и y=(y_1,y_2,…y_n), то набор x является более полезным для потребителя, чем набор y.

Свойства:

-функция полезности определяется неоднозначно (если u(x) — некоторая функция полезности, то, например, u₁(x)=u(x)+a, u₂(x)=bu(x) при b > 0], u₃(x)=log_cu(x) [при c > 1] и любая другая строго возрастающая функция от u(x) также будут функциями полезности);

-функция полезности является строго возрастающей [аксиома желательности утверждает, что из того, что x>y, следует, что x≻y; по определению функции полезности x≻y  u(x)>u(y), значит, если x>y, то u(x)>u(y) ];

- предельные полезности товаров положительны (поскольку функция полезности является строго возрастающей и дифференцируемой, то );

- небольшой прирост блага при его первоначальном отсутствии резко увеличивает полезность (или, иначе, предельная полезность первой единицы товара бесконечна):

);

-по мере увеличения потребления товара его предельная полезность уменьшается (первый закон Госсена):

-при очень большом объеме потребления товара его дальнейшее увеличение не приводит к росту полезности:

);