Лекция 4
Определение 1
Ряд вида называется степенным рядом. a1, a2,a3, …,an… называется коэффициентами ряда.
Замечание!
Степенным рядом называется также ряд
, где а это некоторое постоянное число . Ряд данного вида, т.е. ряд сводится к ряду вида путем замены пееменной по формуле
Замечание!
Придавая переменной х различные числовые значения будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходится.
Определение 2
Множества значений переменной х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.
Теорема Абеля
Если степенной ряд сходится при некотором значении , то он сходится и при том абсолютно, при всяком значении х удовлетворяем неравенству
Следствие из теоремы Абеля
Существует такое число R, такое что при ряд сходится, а при
- расходится. При этом число R называют радиусом сходимости, а интервалом сходимости степенного ряда
Замечание
На концах интервала сходимости x=R, x=-R ряд может как сходится, так и расходится.
Нахождение радиуса сходимости
Если среди коэфицентов ряда a1, a2,a3, …,an…нет равных 0 т.е. ряд содержит все целые положительные степени х, то радиус сходимости можно найти по формуле
при условии что этот предел существует и конечен( или бесконечен).
Если среды коэффициентов ряда есть равные 0, то интервал сходимости можно находить применяя непосредственно признак Даламбера или признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.
Замечание!
Формула выражает радиус сходимости также и ряда
, а интервалом сходимости этого ряда
Замечание!
Если R=0, то ряд сходится лишь при х=0. Если же R=
сходится на всей числовой прямой.
Свойства степенных рядов
Степенной ряд можно почленно интегрировать по
отрезку принадлежащему его интервалу сходимости
Степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз в интервале его сходимости.
Лекция 5
Определение 1
Ряд в правой части равенства называется рядом Тейлора для функции f(x)
Замечание!
В сокращенной форме записи ряд Тейлора для функции f(x) имеет вид:
, при этом по определению полагают ,то есть производная нулевого порядка функции равна самой функции.
Определение 2
В частном случае, когда а=0 из ряда Тейлора получается ряд Маклорена
Замечание!
Сокращенная форма записи ряда Маклорена для функции f(x) имеет вид:
Теорема (достаточное условие представления функции её рядом Тейлора)
Если в интервале производные функции f(x) всех порядков ограничены одним и тем же числом С, С 0, то есть :
, (n=1,2,3,…) то ряд Тейлора, для этой функции сходится в интервале и его сумма равна f(x)
Лекция 6
Определение 1
Пусть имеется n-переменных величин и каждому набору их значений ( ) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z, тогда говорят, что задана функция нескольких переменных
Замечание: Переменные ( ) при этом называются независимыми переменными или аргументами
z-зависимой переменной; f-означает закон соответствия, а множество X называется областью определения функции и обозначается D(z)
Замечание: Геометрически область определения функции двух независимых переменных представляет собой конечную или бесконечную часть плоскости, ограниченной одной или несколькими кривыми (границы области), которые могут принадлежать или не принадлежать данной области.
Определение 2
Совокупность всех значений функции z=f(x,y) – называется множеством её значений и обозначается символом E(z)
Определение 3
Графиком функции z=f(x,y) называется множество точек (x,y,z) в пространстве координаты которых удовлетворяют условиям z=f(x,y); (x,y) D(z)
Замечание: В простейших случаях такой график представляет собой некоторую поверхность
Замечание: Функция 3-х и большего числа переменных не имеют наглядного геометрического представления
Определение 4
Линией уровня функции z=f(x,y) называется множество точек на плоскости в которых функция принимает одно и то же значение С. Число С в этом случае называется уровнем.
Замечание: Построение линий уровня оказывается существенно более лёгкой задачей, чем построение графиков самих функций
Определение 5
Окрестностью точки на плоскости называется любой круг с центром данной точки за исключением его границы (открытый круг)
Определение 6
Число А называется пределом функции z=f(x,y) при x и y , если для любого числа >0 существует число такое что выполняется неравенство < , при 0< < , при это пишут: =A
Замечание: Величина , есть расстояние между точками (x,y) и ( на плоскости
Определение 7
Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке ( :
Если она определена в этой точке;
Если она имеет конечный предел в этой точке;
Если этот предел равен значению функции в этой точке т.е.
Замечание: Геометрический смысл непрерывности состоит в том, что график функции в некоторой окрестности ( представляет собой сплошную не расслаивающуюся поверхность
Определение 8
Если в точке ( не выполняется хотя бы одно из 3-х условий непрерывности z=f(x,y), то такая точка называется точкой разрыва функции z=f(x,y)
Замечание: Точки разрыва z=f(x,y) могут образовывать линии разрыва