63. Функция распределения. Св-ва.

Пусть Х – НСВ.

Функцией распределения (интегральной ф-ией) непрерыв случ вел-ны Х называется вероятность того, что случайная вел-на примет значения <X.

F(x)=P(X<x)

Для дискретной СВ определение такое же.

Случайная вел-на – непрерывная, если её функция распределения есть непрерывная кусочно-дифференцируемая функция.

Св-ва ф-ии распределения:

1. 0≤F(x) ≤1

2. F(x) – неубывающая.

F(x1) F(x2)

3. P(a≤x≤b)= F(b)-F(a)

док-во: F(x2)=P(X<x2)=F(x1)+P(x1≤x≤x2)

F(x2)-F(x1)=P(x1≤x≤x2)

4. P(x=a)=0 – для непрерывных

b=a+∆a; ∆a->x

Следствие: P(a≤x≤b)= P(a≤x<b)=P(a<x≤b)= P(a<x<b)

5. X<(a,b) => F(x)=0, x≤a, F(x)=1; x>b

X (- ;+ =limF(x)при x->- =0, при х->+ = 1.

x – НСВ

далее, х – дискретная СВ

1 2 3 4 5 6

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

64. Плотность распределения и её св-ва.

Плотностью распределения называется производная от функции распределения. f(x)=f’(x)

Для ДСВ плотность не определяется.

Плотность распределения непрерыв случ вел-ны называется законом распределения этой вел-ны.

f(x)=

св-ва плотности распределения:

1. f(x)≥0

2. P(a<x<b)=

3.

следствие: X<(a, b) =>

пример:

f(x) =

a*sin | = 1

a-0=1 => a=1

66. Равномерное распределение.

Х-НСВ распределена по равномерному закону, если её плотность распределения на отрезке на котором случ вел-на принимает все значения есть const, т.е. x (a,b) => f(x)=C ; x (a,b) при =>

c(b-a)=1 => C=1/(b-a) Теперь функцию f(x) можно представить в виде

Построим функцию распределения F(x), для чего найдем выражение F(x) на интервале [a, b]:

Графики функций f(x) и F(x) имеют вид:

Используя формулу для вычисления математического ожидания НСВ, имеем:

Таким образом, математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [a, b] совпадает с серединой этого отрезка.

Найдем дисперсию равномерно распределенной случайной величины:

откуда сразу же следует, что среднее квадратическое отклонение:

(в конспекте не было).

67. Показательное (экспоненциальное) распределение.

Закон распред Х-НСВ – показательный, если его плотность задается формулой:

Найдем функцию распределения показательного закона, используя свойства дифференциальной функции распределения:

рафики дифференциальной и интегральной функций показательного распределения имеют вид:

Величина срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств при выполнении определенных условий обычно подчиняется показательному распределению. Другими словами, величина промежутка времени между появлениями двух последовательных редких событий подчиняется зачастую показательному распределению.

Как видно из формулы, показательное распределение определяется только одним параметром лямбда.

лямбда заместо мю.

Таким образом, для показательного распределения характерно, что среднее квадратическое отклонение численно равно математическому ожиданию.

Найдем вероятность попадания СВ в интервал (a,b):

P(a,b)=F(b)-F(a)=e^-λb-e^-λa