1. Двойной интеграл. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.

1. Об объеме цилиндрического тела.

Опр: диаметром плоской фигуры (diam D) – называется наибольшее расстояние между 2 любыми точками этой фигуры, лежашей на границе фигуры D.

2. О массе тонкой пластины.

m=γ*ρ

Алгоритм построения двойного интеграла.

1. Разобьём область D произвольно на n частей.

2. Обозначим площадь каждой ч/з ∆D_i

3. Выберем

4. (найдём значение функции в данной точке)

5. (Сложим произведения высот (знач. ф-ии) на площадь частички)

6. (устремляем диаметр к 0)

2. Определение двойного интеграла и его свойства.

Опр: Если существует конечный предел , независящий ни от способа разбиения D на части, ни от выбора Р_i, то этот предел называется двойным интегралом от f(x;y) по области D.

Свойства:

1)

2)

3) D = D₁ D₂- не имеют общих внешних точек

3. Повторный интеграл.

Опр: повторным интегралом от f(х;у) по правильной в направлении Оу области D называется выражение вида:

4. Вычисление двойного интеграла.

Опр: область D – правильная в направлении Ox, если любая прямая ǁ Ох проходящая ч/з внутреннюю точку пересекает границу области в 2-х точках.

Опр: область D – правильная в направлении Oу, если любая прямая ǁ Оу проходящая ч/з внутреннюю точку пересекает границу области в 2-х точках.

5. Замены переменных в 2-ом интеграле. 2-ой интеграл в полярных координатах.

(1)

Опр: определителем Якоби (Якобианом) для (1)

-формула замены переменной

X² + Y² = ρ²=r²

– в полярных координатах.

Выгодно если В – круг или часть круга.

6. Приложения двойного интеграла.

1. Задача (объём и масса)

2. 

– площадь плоского тела

3. S пов-ти -

4. 

5. – статический момент

6. координаты центра масс пластины.

9. Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла.

- масса кривой

2) о работе переменной силы (2-го рода)

9. Определение и свойства криволинейного интеграла 1-го рода.

Опр: если существует конечный предел независящий ни от способа разбиения АВ на части, ни от выбора промежуточных точек, то этот предел – криволинейный интеграл 1 рода.

Свойства:

1. - Интеграл не зависит от ориентации кривой;

2. 

3. 

9. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.

y=f(x;y); L:

1. α≤t≤β

α≤β

2. Y=ϕ(t) a≤x≤b dx a≤ b

3. Ρ=ρ(ϕ) α≤ϕ≤β α≤β

13. Определение и свойства криволинейного интеграла 2-го рода.

Опр: Криволинейным интегралом 2-го рода по координатам дуги является если lim не зависит ни от способа разбиения, ни от Mi.

Замечание:

1. Q(x;y)≡0

2. P(x;y) ≡0

Свойства:

1. 

2. L = L1∩L2

3. не зависит от начала, зависит от направления.

13. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.

1)

2)L: y=y(x) a≤x≤b

3. L: x=x(y) c≤y≤d

13. Формула Грина.

Данная формула устанавливает связь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по границе L. Пусть на оси Oxy задана область D, ограниченная прямой, параллельной плоскостям не более чем в двух точках (D - правильная область), тогда существует теорема.

P(x;y); Q(x;y). P.S. смотрим на изменения х и у при выборе пределов

13. Приложения криволинейного интеграла 2о рода.

1. A~F

2. S плоской фигуры

19. Формулы Стокса и Остроградского.

Стокс

20. Задачи, приводящие к понятию диф.ур. 1 порядка.

1) скорость dS/dt=v(t) Лбобая производная по времени – скорость протекания процесса.

2) тангенс угла наклона касательной y`= tgα

21. Общие понятия дифф. Ур. 1 порядка.

Дифференциальное уравнение – уравнение содержащее неизвестную функцию, независимые переменные и производную от независимой функции.

Если неизвестная функция есть ф-я 1 переменной – то уравнение – обыкновенное дифференциально уравнение, если ФНП – диф. уравн в частных произв или ур-ие мат физики.

Порядком дифф ур-ия называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

F(x;y;y²… y⁽ⁿ⁾)=0 (1)

y⁽ⁿ⁾=f(x;y;y`... y^n-1) (2)

F(x;y;y`)=0 (3)

y`=f(x;y) (4)

Условие y(x₀)=y₀ (5) ( – начальное условие для (3) и (4).

Решением (3) (4) y=ϕ(x),,, которая при подстановке обращает исходное в верное тождество.

Общим решением (3) (4) у=ϕ(х;С) зависящее от произвольной постоянной, удовл 2 условиям:

1. При любых С данное выр-ие есть решение уравнения

2. Какого бы не было (5) всегда можно подобрать С=С₀, у=ϕ(х;С₀) будет удовл данному начальному условию

Замечание: Ф(х,у,С)=0 – общий интеграл.

Частным решением ур-ия (3) (4) называется решение полученное из общего при конкретных значениях произвольной постоянной.

Задачей Коши для (4) называется задача нахождения частного решения, удовл данному условию.