- •Двойной интеграл. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.
- •22. Дифф ур-ия с разделяющимися переменными
- •25. Бернулли
- •29. Структура общего решения лнду -2.
- •30. Лоду с пост коэф.
- •31.Лнду с постоянными коэффициентами. Метод подбора.
- •33. Основные определения числового ряда.
- •34. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.
- •35. Признаки сравнения.
- •36. Признак Даламбера.
- •37. Радикальный и интегральный признак Коши.
- •38. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •39. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •40. Основные понятия степенного ряда.
- •45. Тригонометрический ряд Фурье. Теорема Дерихле.
- •46. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
- •47. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.
- •49. Основные формулы комбинаторики.
- •50. Событие и вероятность. Классификация событий. Алгебра событий.
- •51. Классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность.
- •52. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Следствия.
- •53. Формула полной вероятности.
- •54. Формула Байеса.
- •55. Формула Бернулли.
- •56. Теоремы Лапласа.
- •63. Функция распределения. Св-ва.
- •64. Плотность распределения и её св-ва.
- •66. Равномерное распределение.
- •67. Показательное (экспоненциальное) распределение.
- •68. Нормальное распределение.
34. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.
(1)
Выполнение – не гарантирует сходимость ряда. Невыполнение – гарантирует расходимость.
Т1. Необх признак сходимости рядов.
Если ряд (1) сходится, то предел n-члена = 0.
Док-во:
Sn-1=Sn-an =>
Т2. Достаточный признак сходимости
Если => (1) – расходится
гармонический ряд, расходится
Докажем расходимость:
Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемые следующим образом:
Последний ряд, очевидно, расходится.
Для этого ряда
35. Признаки сравнения.
- знакоположит., если все an>0
(1) и (2) – эталонный, an, bn > 0, исследуем an
Т3. Непредельный признак сравнения.
1. если an < bn то при любых n (2) – cход => (1) сход
2. если an > bn то при любых n (2) – расх => (1) расх
замечание: в кач-ве ряда сравнения обычно выбирают:
а) - обобщ. гармон. ряд (ряд Дерихле) – (сх при a>1, расх a≤1)
б) (сх при |q|<1, расх |q|≥1)
Т4. Предельный признак сравнения.
а) 0≤l≤∞ (2) – сх => (1) – сх.
б) ∞≥l≥∞ (2) – расх => (1) – расх
в) 0<l<∞ (2 и 1) – сх или расх одновременно – применять другие признаки
Члены ряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося ряда геометрической прогрессии
т. к. , n=1,2,…
Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд также сходится.
36. Признак Даламбера.
Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел
Тогда: 1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;
2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;
3) при q = 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.
док-во:
При выбираем так, чтобы . Пусть выбрано так, чтобы при , т.е. и , . По предыдущей теореме ряд сходится. Если же , то выберем так, что . Тогда при и ряд расходится.
37. Радикальный и интегральный признак Коши.
Радикальный: Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел
Тогда: 1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;
2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;
3) при q = 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.
Д-во: в точности повторяет док-во признака даламбера.
Применим предельный признак Коши:
Следовательно, исходный ряд сходится.
Интегральный: Пусть функция f(x) непрерывная неотрицательная невозрастающая функция на промежутке
Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.
|
|
Доказательство. - это площадь под графиком функции при .
Так как (сумма площадей прямоугольников) ограничивает площадь под графиком функции снизу, а ограничивает ее сверху, то .
. Достаточность. Если интеграл сходится, то , поэтому последовательность ограничена сверху. Так как эта последовательность не убывает, то по теореме Вейерштрасса . Поэтому ряд сходится.
Необходимость. Если ряд сходится, то , а по необходимому признаку сходимости ряда при . Поэтому последовательность (неубывающая, так как ) ограничена сверху. Следовательно, по теореме Вейерштрасса , т.е. несобственный интеграл сходится.
Если ряд расходится, то и интеграл расходится и наоборот. Это легко доказывается от противного.
Применим интегральный признак Коши.
В нашем случае функция удовлетворяет условию теоремы. Исследуем на сходимость несобственный интеграл
Имеем .
Несобственный интеграл расходится, следовательно, исходный гармонический ряд расходится также.