52. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Следствия.

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

В случае, когда события А и В совместны, вер-ть их суммы выражается формулой

Р (А +В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ),

где АВ – произведение событий А и В.

Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. В случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.

Условной вероятностью Р(А/В) события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично через Р(В/А) обозначается условная вероятность события В при условии, что событие А наступило.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

A1, A2,…An – полная группа, P(A1)+P(A2)+…=1

P(A)+P(обратноеA)=1

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна вер-ти одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В/А), или Р (АВ) = Р(В) · Р(А/В).

Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р (АВ) = Р(А) · Р(В).

Следствие. При производимых n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых события А появляется с вероятностью р, вероятность появления события А хотя бы один раз равна 1 - (1 - р)ⁿ

53. Формула полной вероятности.

Формул полн вер: p(A)=Σp(Hi)*p(A/Hi) гипотезы Hi, i=1,n образ полн гр событ

Док-во Т.к. события H1…Hn образ полн гр соб, то собА можно предств виде суммы:A=AH1+…+AHn.

Т.к. соб H1…Hn несовм, то и соб AH_i тоже несовм. Можно примен теор о слож вер несовм соб:P(A)ΣP(AHi)

При этом P(AHi)=P(Hi)P(A/Hi) Окончат получ формулу

54. Формула Байеса.

P(A) — априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);

P(A | B) — вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

P(B | A) — вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

P(B) — вероятность наступления события B.

Важным следствием формулы Байеса является формула полной вероятности события, зависящего от нескольких несовместных гипотез (и только от них!).

— вероятность наступления события B, зависящего от ряда гипотез Ai, если известны степени достоверности этих гипотез (например, измерены экспериментально);

55. Формула Бернулли.

n-кол одинак испыт, в кажд р(А) равны

q=1-p, m- кол раз наступ А в n испыт.

Pn(m)=C p^mq^n-m

C =n!/(n-m)!m!

пример:

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что 8 выстрелов дадут 5 попаданий?

n=8; m=5; p=0,6; q=1-0,6=0,4.

56. Теоремы Лапласа.

Локал т Лапласа: n>>, p[0.25,0.75], n>100, npq>20

X=m-np/√npq , φ(x)=1/√2π * e^{-x^2/2} гаусово норм распред

Pn(m)=1/√npq * φ(x)

Пр: p(A)=0/75, A-своевр вып заказа, n=160, m=120, q=0.25, npq=30>20 p160(120)=1/√30 * 1/√2π e⁰

X=-160*3/4 +120 /√30 = 0

Интегр ф Муавра-Лапл: усл те же

Pn(m1<m<m2)=Фo(х2)-Фo(х1)

x1=(m1-np)/√npq, x2=m2/np/√npq

Фо(x)= ∫₀^x φ(t)dt=1/√2π∫₀^x e^{-t^2/2} dt – ф-я Лапласа

Ф-нечетна. Пр: p=0.75, n=160, m>=110, npq=30

X1=110-120/√30=7.3, x2=160-120/√30,

P160(110<m<160)= Фo(7.3)-Фo(-1.82)= Фo(7.3)-Фo(1.82)

Следств:P(|m/n - p|<=E) =2Фo(E√n /√pq)= 2Фo(nE/√npq)

Ф-я норм распред: Ф(x)= ∫_-∞^x φ(x)dx=1/2 + Фo(x) ->

P(|m/n - p|<=E) = 2Фo(nE/√pnq)= Ф(nE/√npq)-1

Пр: n-?, p=0.03, E<=0.01, P(|m/n - p|<=E)=0.95=2 Фo =>

Фo=0.475 => nE/√npq=1.96 (по табл).

√n*0,01/√0,03*0,95 =1.96 => n=1117.9 =>1118