- •18 Физический смысл уравнений неразрывности деформаций. Уравнения Коши для определения линейных и угловых деформаций.
- •20 Условия пластичности
- •21,22 Напряжения на наклонных площадках. Условия на поверхности.
- •23. Тензор напряжений. Компоненты тензора напряжений Величины, характеризующие напряженное состояние тела
- •24. Шаровой тензор напряжений. Девиатор напряжений . Физический смысл
- •25.Шаровой тензор деформации. Девиатор деформации. Физический смысл
23. Тензор напряжений. Компоненты тензора напряжений Величины, характеризующие напряженное состояние тела
Если к телу приложены внешние силы и создано препятствие его свободному движению, то тело находится в напряженном состоянии. На тело действуют внешние силы; реакции связей, ограничивающие движение тела; силы трения в местах контакта тела с инструментом. Одной из задач теории ОМД является определение этих сил.
При действии внешних сил на тело в нем появляются уравновешивающие их (внутренние) усилия. Их интенсивность называется напряжением. Необходимо уметь определять напряжение в любой точке напряженного тела.
Для этого выделим небольшой объем вокруг точки, в которой нужно вычислить напряжение. Общее напряжение S можно разложить на его проекции на оси координат:
S2 = Sx2 + Sy2 + Sz2
Напряжение, действующее на гранях элементарного куба, раскладывается на нормальное и касательное.
П олностью напряженное состояние на гранях элементарного куба описывается тензором напряжений.
В декартовых координатах:
,
где – проекции на оси прямоугольной системы координат полных напряжений, действующих на гранях элементарного куба – нормальные напряжения; остальные составляющие – касательные напряжения.
В цилиндрических координатах:
где – проекции на оси цилиндрической системы координат полных напряжений, действующих на гранях цилиндрического сектора – нормальные напряжения;
Цилиндрическая система координат удобна при анализе напряженного состояния проволоки, прутков, труб или других издлий цилиндрической формы.
Проекции полного напряжения:
где – направляющие косинусы, т.е. косинусы углов между нормалью к поверхности и осями координат.
Нормальное напряжение:
Касательные напряжения:
Если последовательно уменьшать ребра элементарного куба, то он обратится в точку. В этом случае тензор напряжений будет характеризовать напряженное состояние в данной точке тела.
Дифференциальные уравнения равновесия имеют вид:
Напряжения, возникающие в теле под действием внешних сил, в общем случае различны в различных точках, т.е. они являются функциями координат. Поскольку среда непрерывна, то при переходе от одной точки к другой соответствующие напряжения непрерывно меняются на малую величину. Если тело находится в равновесии, то сумма проекций всех сил и сумма моментов всех сил относительно каждой из осей равна нулю. Рассмотрим сумму моментов относительно оси Z.
Таким образом, напряженное состояние в произвольной точке тела в самом общем виде может быть охарактеризовано шестью величинами: тремя нормальными и тремя касательными составляющими напряжения.
24. Шаровой тензор напряжений. Девиатор напряжений . Физический смысл
Таким образом, напряженное состояние в произвольной точке тела в самом общем виде может быть охарактеризовано шестью величинами: тремя нормальными и тремя касательными составляющими напряжения.
Схемы с напряжениями одного знака называют одноименными, а с напряжениями разных знаков – разноименными. Условно растягивающие напряжения считают положительными, с сжимающие – отрицательными.
Над тензорами можно производить операции сложения и вычитания. Для практических расчетов полный тензор напряжений раскладывают на шаровой тензор T0 и девиатор напряжений Ds.
Ts = T0 + Ds; Если , то
шаровой тензор
девиатор напряжений .
Шаровой тензор характеризует такое напряженное состояние, при котором будет происходить только изменение объема тела, а девиатор – только изменение формы элементарного объема.