2.Система уравнений четырехполюсника. Понятие симметрии четырехполюсника. Основные уравнения четырехполюсников

П ринято условно изображать четырехполюсники так, как это показано на рис. 3.1. Это «проходной» четырехполюсник. В нем электрическая энергия передается слева направо. Одну пару выводов называют первичной (входной), а другую – вторичной (выходной) и обозначают соответственно 1–1 и 2–2. Входной ток обозначают , входное напряжение – , ток и напряжение на выходе – и . Четырехполюсник является передаточным звеном между источником питания и нагрузкой. К выводам 1–1, как правило, присоединяется источник питания; к выводам 2–2 – нагрузка.

З ависимости между двумя напряжениями и двумя токами, определяющими режим на первичных и вторичных выводах, могут быть записаны в различной форме. Если считать две из указанных величин заданными, то две другие величины будут связаны с ними системой двух уравнений, которые называются уравнениями четырехполюсника.

Пусть схема четырехполюсника содержит n независимых контуров. В качестве первого (рис. 3.2) выберем контур, включающий в себя источник энергии на зажимах 1–1, в качестве второго – контур, включающий в себя приемник, присоединенный к зажимам 2–2. Будем рассматривать напряжение на входных зажимах четырехполюсника как входное напряжение. Такое включение принято называть прямым.

Составим уравнения по методу контурных токов.

(3.1)

Поскольку , то, перенеся величину в правую часть второго уравнения, приведем систему уравнений к виду

(3.2)

Учитывая, что правые части всех уравнений, кроме первых двух, равны нулю, получим на основании принципа наложения следующее решение

(3.3)

Коэффициенты в (3.3) имеют размерность проводимости, введем соответствующие обозначения

.

Тогда уравнения четырехполюсника, записанные в Y-форме, связывающие токи с напряжениями, имеют вид

(3.4)

Полученные соотношения в матричной форме имеют вид:

.

Для линейной пассивной цепи , а следовательно, . Из четырех Y-параметров независимых три, т.к.

Решив (3.4) относительно напряжений и , получим уравнения четырехполюсника, записанные в Z-форме, связывающие напряжения и токи

(3.5)

где

(3.6)

при этом .

Из четырех Z–параметров независимых три.

Уравнение (3.5) в матричной форме:

.

Наиболее распространенной формой записи уравнений четырехполюсника является такая, при которой входные ток и напряжение выражаются через выходные напряжение и ток. Из уравнений (3.3) можно записать

. (3.7)

Подставим (3.7) в первое уравнение (3.3)

(3.8)

Введем обозначения

– величина безразмерная;

– величина, измеряемая в омах;

– величина, измеряемая в сименсах;

– величина безразмерная.

При этом будут справедливы соотношения

(3.9)

В матричной форме эти уравнения имеют вид

Уравнения (3.9) называют уравнения четырехполюсника в А-параметрах. Учитывая, что , можно показать, что определитель матрицы А равен единице:

(3.10)

Итак:

Из этого соотношения следует, что для определения и достаточно знать только три коэффициента из четырех, т.е. среди А–параметров только три независимые, аналогично для Z–, Y– форм.

Таким образом, зная, что Y, Z, A – параметры зависят от параметров элементов и конфигурации схемы четырехполюсника, можно сформулировать связь вход–выход, не прибегая к расчету токов и напряжений во внутренней части четырехполюсника, которая может представлять собой весьма сложную электрическую цепь.

Имеются и другие соотношения, связывающие в смешанной форме токи и напряжения на входе и выходе четырехполюсника. Приведем без вывода уравнения четырехполюсника в H – и G – параметрах:

.

Все параметры в общем случае – комплексные числа. Соотношения, связывающие между собой параметры в различных формах записи, приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Определ параметр	Z	Y	H	A
Z
Y
H
A
Примечание. В таблице обозначены: – определители соответствующих матриц

Рассмотрим наиболее подробно уравнения четырехполюсника в А – параметрах.