16. Игры с природой. Показатель благоприятности состояния природы. Риск игрока, принимающего решение. Матрица рисков. Принятие решений в условиях риска и неопределенности.

Природа – объективная действительность, от которой зависит принятие решений.

Математическая модель подобных ситуаций называется «игрой с природой».

Таким образом, в игре с природой только один игрок действует осознанно, а именно, лицо, принимающее решение, А. Природа П является вторым игроком, но не противником А, так как она действует не осознанно, а принимает решения неопределенным образом.

Показателем благоприятности состояния П_j природы П для увеличения выигрыша называется набольший выигрыш при этом состоянии, т.е. наибольший элемент в j-м столбце матрицы игры:

Риском r_ij игрока А при выборе им стратегии А_i в условии состояния П_j природы П называется разность между показателем благоприятности β_j состояния природы П_j и выигрышем a_ij, т.е. разность между выигрышем, который игрок А получил бы, если бы знал заранее, что природа примет состояние П_j, и выигрышем , который он получит при этом же состоянии П_j, выбрав стратегию А_i, т.е.

Из предыдущих формул следует, что риск r_ij не отрицателен

Если , то разность называется колебанием выигрышей при состоянии природы П_j, j = 1,…, n.

Для матрицы A матрица рисков R_A имеет ту же размерность и следующий вид:

Ai Пj	П1	П­2	…	П­n
A1	r11	r12	…	r1n
A2	r21	r22	…	r2n
…	…	…	…	…
Am	rm1	rm2	…	rmn

В теории игр с природой в зависимости от имеющейся или добываемой информации различают две ситуации. Одна из них характеризуется тем, что либо известны вероятности, с которыми природа принимает каждое из своих возможных состояний, либо эти вероятности не известны, но имеются сведения об их относительных значениях, либо вероятности состояний природы устанавливаются в результате опроса экспертов и усреднения их показаний. В этой ситуации говорят о «принятии решения в условиях риска». В другой ситуации вероятности возможных состояний природы неизвестны и нет никакой возможности получить о них какую-либо информацию. В этом случае говорят «принятии решения в условиях неопределенности».

17. Критерий Лапласа оптимальности чистых и смешанных стратегий относительно выигрышей.

Критерии Байеса были известны вероятности тех или иных состояний природы. Однако довольно часто складывается ситуация, что мы лишены возможности определить вероятности состояний природы известными способами. Поэтому нам приходиться субъективно оценивать риски. Один из методов состоит в том, что мы не можем отдать предпочтение ни одному из состояний природы, и потому считаем их равновероятными, то есть q_­1 = …= q_n = 1/n. Этот принцип называется «принципом недостаточного основания Лапласа». На нем основан критерий Лапласа.

Показателем эффективности стратегии A_i по критерию Лапласа относительно выигрышей называется среднее арифметическое выигрышей i-ой строки:

Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно выигрышей считается стратегия A_i0 показатель эффективности которой максимален.

Показатель эффективности смешанной стратегии по критерию Лапласа относительно выигрышей:

Стратегия Р⁰ будет оптимальной среди всех смешанных стратегий множества S_A по критерию Лапласа относительно выигрышей, если она максимизирует показатель эффективности.