§2. Общая характеристика темы

2.1 Особенности и роль темы в математике и в школьном курсе математике (Историческая справка)

Тригонометрические функции играют огромную роль в математике и ее приложениях.

Исследованием тригонометрических функций практически занимались еще древнегреческие математики, изучая взаимное изменение величин а геометрии и астрономии. Соотношения между сторонами в прямоугольных треугольниках, которые по сути своей являются тригонометрическими функциями, рассматривались уже в 3 в. до н. э. в работах Евклида, Архимеда, Апполония и других ученых.

Учение о тригонометрических величинах получило развитие в 8-15 вв. в странах Среднего и Ближнего Востока. Так, в 9 в. в Багдаде ал-Хорезми оставил первые таблицы синусов и с ее помощью построил таблицу синусов с интервалом 15’, в которой значения синусов приведены с точностью до 8-го десятичного знака. Ахмад-ал-Беруни в 11 в. вместо деления радиуса на части при определении значений синуса и косинуса, сделанного до него Птолемеем, начал использовать окружность единичного радиуса. В первой половине 15 в. ал-Каши создал тригонометрические таблицы с шагом 1’, которые были непревзойденными по точности последующие 250 лет. Самым крупным европейским представителем той эпохи, внесшим вклад в развитие исследования тригонометрических функций, считается Региомонтан.

В начале 17 в. в развитии тригонометрии наметилось новое направление-аналитическое. Если до этого учения о тригонометрических функциях строились на геометрической основе, то в 17-19 в. тригонометрия постепенно вошла в состав математического анализа и стала широко использоваться в механике и технике, особенно при рассмотрении колебательных процессов и иных периодических явлений.

О свойствах периодичности тригонометрических функций знал еще Ф Виет. Швейцарский математик И. Бернулли (1642-1727) в своих работах начал применять символы тригонометрических функций. Однако близкую к принятой теперь символику ввел Л. Эйлер в 1728 г. в своей работе «Введение в анализ бесконечных». Он в этой работе рассмотрел вопрос о знаках всех тригонометрических функций любого аргумента.

Тригонометрические функции Эйлер рассматривал как особые числа, называя их общим термином «трансцендентные количества», получающиеся из круга. Для вычесления приближенных значений sinx и cosx он получил их разложения в ряды:

sin x = x -

cos x = 1 -

Одновременно развивается учение о тригонометрических функциях комплексных чисел.

В связи с открытием великим геометром Николаем Ивановичем Лобачевским новой геометрии выясняется, что тригонометрия состоит из двух принципиально различных частей:

1. первой – гониометрии, части математического анализа, где независимо от геометрических соображений чисто аналитически раскрывается учение о трансцендентных функциях и их свойствах;

2. второй – собственно тригонометрии, где соединяются две ветви математики – математический анализ и геометрия того или иного пространства: в частности. Тригонометрия евклидова пространства – учение об аналитическом решении треугольников и сводимых к ним фигур, рассматриваемых в евклидовом пространстве, и тригонометрия пространства Лобачевского – учение об аналитическом решении треугольников и фигур, сводимых к ним, рассматриваемых в пространстве Лобачевского.

Гониометрия не зависит от аксиомы параллельных, а тригонометрия в собственном смысле зависит от этой аксиомы. Соотношение sin² x + cos² x  1 характеризует в общем виде операции с соответствующими рядами и только в евклидовом пространстве выражает соотношение между площадями квадратов, построенных на сторонах переменного прямоугольного треугольника с постоянной гипотенузой, равной единице.

Известное соотношение между сторонами и углами треугольника верно в евклидовом пространстве, а в пространстве Лобачевского неверно. В последнем имеется соотношение более общего характера:

,

где l_a, l_b, l_c – длины окружностей с радиусами a, b, c.

Благодаря сложному ходу развития тригонометрии становится все более затруднительной ее связь с содержанием учебного предмета тригонометрии. Если на первой стадии своего развития тригонометрия мало чем отличалась от ее учебного предмета, то во вторую стадию такое различие становится весьма существенным. В XVIII и особенно XIX в. в связи с бурным развитием дифференциального исчисления возникает новый предмет – математический анализ и тригонометрия становится частью этого предмета, а учебный предмет тригонометрии с его первоначальной геометрической основой продолжает существовать самостоятельно. В содержании учебного предмета тригонометрии возникают два направления: прежнее – аналитическое решение треугольников, и новое – изучение свойств тригонометрических функций.

Возник вопрос методического характера: как построить преподавание тригонометрии с учетом двух ее направлений?

Впервые и сравнительно рано (середина XIX в.) дал на этот вопрос принципиально правильный ответ, как представляется в настоящий момент, академик Михаил Васильевич Остроградский. В 1848 году он предложил систему индуктивного характера преподавания тригонометрии так:

1. сначала (в средней школе) изучается тригонометрия острого угла как учение о вычислительном приеме решения треугольников и фигур, сводимых к ним;

2. потом (в старших классах) обобщаются понятия тригонометрии острого угла, т. е. ставится теория тригонометрических функций любого действительного аргумента.

При жизни Остроградского его система была принята в кадетских корпусах, но в дальнейшем не нашлось смелых продолжателей его дела, умеющих ломать отживающие традиции.

Ф. И. Семашко, написавший первое издание учебника тригонометрии в духе Остроградского, в третьем издании (1886 г., после смерти М.В. Остроградского) отступает от новой системы и возвращается к системе дедуктивного характера.

В дальнейшем побеждает дедуктивное направление в методике тригонометрии, и в конце XIX - начале XX в. в нашей стране появляются учебники тригонометрии (Малинина, Шапошникова, Рыбкина, Злотчанского и др.), написанные по системе дедуктивного характера.

В годы политического подъема (1905 - 1906) передовые педагоги России настойчиво ставят проблему о коренном изменении характера преподавания математики, и в частности тригонометрии; выводят новые программы для одной из прогрессивных ветвей средней общеобразовательной школы – реальных училищ, где тригонометрия изучается по индуктивной системе.

Появляются новые учебники и задачники, соответствующие новым программам (Слетова, Билибина, Мрочека, Лямина, Кильдюшевского, Глазенапа и др.)

В настоящее время индуктивная система считается предпочтительной и реализуется в большинстве учебников, используемых в настоящее время в школах.