- •1.2. Представление технических объектов как объектов управления
- •1.3. Принципы управления
- •1.3.1. Принцип разомкнутого управления
- •1.3.2. Принцип компенсации
- •1.3.3. Принцип обратной связи
- •1.3.4. Комбинированный принцип управления
- •1.4. Функциональные схемы систем автоматического управления
- •1.5. Классификация систем автоматического управления Классификация систем автоматического регулирования по характеру изменения задающего воздействия
- •Классификация систем автоматического управления в зависимости от числа управляемых переменных
- •Классификация систем автоматического управления по остальным признакам
- •2. Математическое описание линейных систем автоматического управления
- •2.1. Статические и динамические характеристики систем автоматического управления
- •2.2. Преобразование Лапласа
- •2.2.1. Основные свойства преобразования Лапласа
- •2.3. Передаточные функции
- •2.4. Решение дифференциальных уравнений операторным методом
- •2.5. Структурные схемы систем автоматического управления
- •2.6. Передаточные функции систем автоматического регулирования
- •3. Временные и частотные характеристики систем автоматического управления и ее элементов
- •3.1. Временные характеристики
- •3.2. Частотные характеристики
- •3.4. Типовые динамические звенья
- •3.5. Уравнения и характеристики типовых динамических звеньев
- •1. Дифференциальное уравнение
- •2. Передаточная функция
- •3.6. Интегро-дифференцирующие звенья
- •4. Устойчивость линейных систем автоматического управления
- •4.1. Понятие устойчивости системы
- •4.2. Алгебраические критерии устойчивости
- •4.2.1. Критерий Гурвица
- •4.2.2. Критерий Рауса
- •4.3. Частотные критерии устойчивости
- •4.3.1. Критерий Михайлова
- •4.3.2 Критерий Найквиста
- •4.4. Оценка устойчивости сар по логарифмическим частотным характеристикам
- •4.5. Запасы устойчивости систем автоматического регулирования
- •4.6. Выделение областей устойчивости
- •4.6.1. Сущность метода d – разбиения
2.2. Преобразование Лапласа
Для анализа и синтеза САУ в ТАУ широкое распространение при решении дифференциальных уравнений получил операторный метод. Его основным достоинством является сведение решения системы дифференциальных уравнений к решению системы нормальных алгебраических уравнений.
В основе операторного метода лежит преобразование Лапласа:
, (2.3)
которое устанавливает соответствие между функцией действительной переменной t {x(t)} и функцией комплексной переменной p {Х(р)}, где ; j – мнимая единица, т.е. ; - круговая частота. Функция времени x(t), входящая в интеграл Лапласа (2.3) называется оригиналом, а результат интегрирования – функция X(p) – изображением функции x(t) по Лапласу.
Предполагается, что функция x(t), которая подвергается преобразованию Лапласа обладает следующими свойствами:
- x(t) определена и кусочно-дифференцируема на всей положительной числовой полуоси [0, +);
- x(t) =0 при t<0;
- существуют такие положительные числа M и с, что
при .
Соотношение
, (2.4)
определяющее по известному изображению его оригинал (в точках непрерывности последнего) называется обратным преобразованием Лапласа, которое символически можно записать так:
. (2.5)
2.2.1. Основные свойства преобразования Лапласа
1. Свойства линейности:
а) x(t)=ax1(t) X(p)=aX1(p).
б) x1(t) x2(t) X1(p) X2(p).
2. Дифференцирование оригинала.
При нулевых начальных условиях дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на параметр p:
3. Интегрирование интеграла.
Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на параметр р:
.
4. Теорема запаздывания (смещение аргумента оригинала).
Для любого положительного числа
5. Теорема подобия (изменение масштаба времени).
.
6. Теорема о свертке (теорема умножения изображений).
Если x1(t), x2(t) – оригиналы, а X1(p), X2(p) – их изображения по Лапласу, то
.
7. Теорема о начальном значении оригинала.
.
8. Теорема о конечном значении оригинала.
.
2.3. Передаточные функции
Запишем дифференциальное уравнение одномерного объекта
(2.6)
Умножив все составляющие выражения (2.6) на и взяв интеграл по каждому слагаемому от 0 до + и учитывая свойства преобразования Лапласа получим дифференциальное уравнение в операторной форме вида:
(2.7)
Вынеся за скобки изображения Y(p) и U(p) получим уравнение вида:
(2.8)
Введем следующие обозначения:
;
.
Тогда уравнение (2.8) можно записать в виде:
. (2.9)
Откуда
. (2.10)
Введем обозначение:
. 2.11)
Тогда имеем, что
. (2.12)
Функция W(p) называется передаточной функцией и представляет собой отношение изображения по Лапласу выходной переменной к изображению по Лапласу входной переменной при нулевых начальных условиях, т.е.
. (2.13)
Формально передаточная функция получается из дифференциального уравнения путем замены в нем символов кратного дифференцирования на соответствующую степень и делением образованного таким образом многочлена правой части на многочлен левой части. Знаменатель передаточной функции (2.11) называется характеристическим полиномом, а приравненный нулю характеристическим уравнением. Коэффициенты полиномов являются вещественными величинами, определяемыми физическими параметрами системы.
Свойства передаточной функции САР.
1. Передаточная функция является правильной рациональной дробью, для которой выполняется условие: .
2. Все коэффициенты и являются вещественными величинами.
3. Нули (корни полинома в числителе) и полюса (корни полинома в знаменателе) могут быть вещественными или комплексно-сопряженными.