- •1.2. Представление технических объектов как объектов управления
- •1.3. Принципы управления
- •1.3.1. Принцип разомкнутого управления
- •1.3.2. Принцип компенсации
- •1.3.3. Принцип обратной связи
- •1.3.4. Комбинированный принцип управления
- •1.4. Функциональные схемы систем автоматического управления
- •1.5. Классификация систем автоматического управления Классификация систем автоматического регулирования по характеру изменения задающего воздействия
- •Классификация систем автоматического управления в зависимости от числа управляемых переменных
- •Классификация систем автоматического управления по остальным признакам
- •2. Математическое описание линейных систем автоматического управления
- •2.1. Статические и динамические характеристики систем автоматического управления
- •2.2. Преобразование Лапласа
- •2.2.1. Основные свойства преобразования Лапласа
- •2.3. Передаточные функции
- •2.4. Решение дифференциальных уравнений операторным методом
- •2.5. Структурные схемы систем автоматического управления
- •2.6. Передаточные функции систем автоматического регулирования
- •3. Временные и частотные характеристики систем автоматического управления и ее элементов
- •3.1. Временные характеристики
- •3.2. Частотные характеристики
- •3.4. Типовые динамические звенья
- •3.5. Уравнения и характеристики типовых динамических звеньев
- •1. Дифференциальное уравнение
- •2. Передаточная функция
- •3.6. Интегро-дифференцирующие звенья
- •4. Устойчивость линейных систем автоматического управления
- •4.1. Понятие устойчивости системы
- •4.2. Алгебраические критерии устойчивости
- •4.2.1. Критерий Гурвица
- •4.2.2. Критерий Рауса
- •4.3. Частотные критерии устойчивости
- •4.3.1. Критерий Михайлова
- •4.3.2 Критерий Найквиста
- •4.4. Оценка устойчивости сар по логарифмическим частотным характеристикам
- •4.5. Запасы устойчивости систем автоматического регулирования
- •4.6. Выделение областей устойчивости
- •4.6.1. Сущность метода d – разбиения
4.2. Алгебраические критерии устойчивости
4.2.1. Критерий Гурвица
Критерий Гурвица сформулирован и доказан в 1895 году немецким ученым А. Гурвицем. В первоначальное время он использовался для оценки устойчивости систем до пятого порядка из-за трудности расчета определителей Гурвица высокого порядка. Применение ЭВМ позволило устранить этот недостаток. Кроме того, критерий Гурвица позволяет получать аналитические выражения для исследования влияния какого-либо параметра (параметров) на устойчивость системы.
Система устойчива по критерию Гурвица, если при положительности коэффициентов характеристического уравнения а0, а1,…, ап все п определителей Гурвица 1, 2,…, п, составленные по определенной схеме, положительны. Если хотя бы один из определителей Гурвица отрицательный, то система неустойчива.
Матрица, по которой вычисляются определители Гурвица составляется следующим образом:
1 |
2 |
3 |
… |
n-1 |
n
|
a1 |
a3 |
a5 |
… |
0 |
0 |
a0 |
a2 |
a4 |
… |
0 |
0 |
0 |
a1 |
a3 |
… |
0 |
0 |
0 |
a0 |
a2 |
… |
0 |
0 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
0 |
0 |
0 |
… |
an-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
… |
an-2 |
an |
|
|
|
|
|
|
- на главной диагонали записываются все коэффициенты характеристического уравнения от а1 до ап;
- в каждом столбце выше диагональных коэффициентов записываются коэффициенты с последовательно возрастающими индексами, а ниже – с последовательно убывающими индексами;
- на место коэффициентов с индексами больше п или меньше нуля проставляются нули.
Таким образом, для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы:
. (4.6)
4.2.2. Критерий Рауса
Критерий Рауса предложен в 1877 году английским математиком Э.Дж. Раусом. Критерий Рауса широко используется при оценке устойчивости систем высокого порядка, если известны и положительны коэффициенты характеристического уравнения. Этот критерий устойчивости просто реализуется на ЭВМ и можно использовать для выяснения влияния коэффициентов уравнения на устойчивость системы.
Применение критерия Рауса требует составления таблицы, представленной в табл. 4.1:
Таблица 4.1.
Таблица Рауса
Вспомогательные коэффициенты |
Номер строки |
Номер столбца |
|||
I |
II |
III |
… |
||
- |
1 |
с11=a0 |
с12=a2 |
с13=a4 |
… |
- |
2 |
с21=a1 |
с22=a3 |
с23=a5 |
… |
r3 |
3 |
с31 |
с32 |
с33 |
… |
r4 |
4 |
с41 |
с42 |
с43 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
ri |
i |
сi1 |
сi2 |
сi3 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
rn+1 |
n+1 |
сn+1,1 |
- |
- |
… |
Таблица Рауса строится следующим образом:
- в первую строку записывают четные коэффициенты характеристического уравнения, начиная с а0;
- во вторую строку записывают нечетные коэффициенты характеристического уравнения, начиная с а1;
- элементы столбцов, начиная с третьей строки, определяются по выражению:
, (4.7)
где ; k=1,2,3,…; ri – вспомогательные коэффициенты, определяемые по выражению
, (4.8)
где .
Система устойчива по критерию Рауса, если положительны все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса, включая а0 и а1. Если не все коэффициенты положительны, то система неустойчива. При этом число перемен знака среди этих коэффициентов соответствует числу правых корней характеристического уравнения.
Достоинством критериев Гурвица и Рауса является то, что с их помощью можно оценивать устойчивость как замкнутых, так и разомкнутых систем.