Вопрос 17: Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла.

11. 

1. Рассмотрим непрерывную положит. на [a,b] функцию n.

2. Организуем производное разбиение отрезка ab на n-произвольных частей

a=x₀ <x₁<x₂…<x_n-1

3. Длину каждого участка разбиения [x_k-1 , x_k] – ранг разбиения

4. На каждом участке выберем точку и в каждой точке найдем значение функции f( ).

5. Составим выражение , называемое интегральной суммой.

6. Если предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения и выбора точки оси координат, то он называется определенным интегралом(при условии существования)

Свойства:

1. Интеграл от суммы равен сумме интегралов . Доказательство этого свойства с помощью определенного либо:

2. Формула интегрирования по частям:

3. a<c<b

4. 

5. 

6. Интегралы на симметричном отрезке [-a; a] F(x) – нечетное

Вопрос 18: Формула Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).

Вопрос 19:Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям.

Определенным интегралом от функции f на [a, b] обозначается – это предел интегральной суммы независящей от способа разбиения и выбора точки при условии, что ранг разбиения стремится к нулю.

Решается определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница:

Этапы решения определенного интеграла следующие:

1) Сначала находим первообразную функцию (неопределенный интеграл).

2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию:

3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию:

4) Рассчитываем разность, то есть находим число.

Формула интегрирования по частям:

Вопрос 20: Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур.

1. Площадь фигуры, ограниченной графиками функции

У₁ = f₁(x)

У ₂ = f₂(x) a,b – точки пересечения графика функции.

Объем тела полученного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции которая ограничена графиком функции у = f(x) и прямыми x=a, x=b

Если интеграл берется от функции в пределах, т.е. на [a, b]

Интегрирование имеет разрыв, то интеграл называется несобственным интегралом 2-го рода.

Вопрос 21: Несобственные интегралы.

Если интеграл функции содержит в качестве одного или нескольких пределов интегралов он называется несобственным интегралом 1-го рода.

Если указанные пределы при вычислении несобственного интеграла существуют и конечны, интеграл называется сходящимся, в противном случае расходящимся.

Вопрос 22: Функции нескольких переменных. Область определения.

Z = z(x₁, x₂ … x _n): D принадлежит Rⁿ -> R

z(x, y) = x² + y²

Пример: Изобразить область определения функции

D (z) = x² + y² – 4 >=0

x² + y² >=4

D(z) = {(x, y); x, y принадлежит R

x² + y² >=0}

Линией уровня 2-ух переменных z=f(x,y) при пересечении графиков этой функции плоскости параллельна плоскости Oxy, т.е. кривая z=c

Вопрос 23: Частные производные.

Пусть дана функция z = f(x,y) которая определена в иск. окрестности точки z по переменной x, называется её обычная производная взятая при фиксированном y.

Аналогично определяется частная производная

Z= x² + xy + e^xy + 1

Z’_x = 2x + y + e^xy z’_y = x + xe^xy

Z = x²y

Z’ _x ( y – число) = 3yx²

Z’ _y ( x – число) = x³

Z = ln(xy)

Z’ _x = 1/xy * y = 1/x

Z’_y = 1/xy * x = 1/y

Вопрос 24: Градиент.

Рассмотрим функцию 2-ух переменных z = f(xy) которая дифференцируема в некоторой точке m(x₀y₀).

Градиентом функции z называется вектор координаты которого совпадают со значением частных производных этой функции в точке m.

Формула:

Градиент показывает направление самого быстрого изменения функции.

Вопрос 25: Частные производные высших порядков.

Определим частные производные 2-го порядка:

- _{смешанная производная 2-го порядка}

Z’’_yx = (Z’_y)’_{x - смешанная производная 2-го порядка}

Теорема: Смешанные производные равны. Т.е. Z’’ _xy = Z’’ _yx

Вопрос 26: Экстремум функции двух переменных.

Локальные экстремумы ФНП:

Пусть функция z=f(x, y) определяется в некоторой окрестности f(z) имеет точку f₀ – локальный max, если для любой точки x_y из указанной окрестности z(x₀y₀) > z(x, y), аналогично тип функции z.

Теорема:

Если f(z) = f(xy) имеет в точке n₀(x₀, y₀) локальный экстремум, т.е. max или min имеет частные производные 1-го порядка, то все эти частные производные точки m₀ = 0, также точки называются стационарными.

Алгоритм исследования ФНП на экстремумы:

1. Определить область определения.

2. Найти главные производные 1-го порядка.

3. Решить систему z’ _x= 0

z’ _y= 0, M(x_k, y_k)

4. Найти частную производную 2-го порядка

A = z’’ _xx

B = z’’ _yy

C = z’’ _xy

5. В каждой точке M_k (x_k, y_k) находим значение определителя по формуле

(M_k) = AB – C² если < 0, то в точке M_k нет экстремума, если > 0, то

в точке M_k есть экстремум: при < 0 A>0 (C>0) минимум

при > 0 A<0 (C<0) минимум

= 0, нужны дополнительные исследования

	x y
X Y	Xx xy Xy yy

6. Найти значение экстремума

f max z max

29