- •Вопрос 1: Производная функции, ее геометрический и механический смысл.
- •Вопрос 2: Производная суммы, произведения и частного.
- •Вопрос 3: Производная сложной функции.
- •Вопрос 4: Производная обратной функции.
- •Вопрос 5: Производные высших порядков.
- •Вопрос 6: Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение.
- •Вопрос 7: Правило Лопиталя.
- •Вопрос 8: Условия монотонности функции. Экстремумы функции.
- •Вопрос 9: Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.
- •Вопрос 10: Исследование функций на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.
- •Вопрос 11: Асимптоты кривых. Общая схема построения функций.
- •Вопрос 12: Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования.
- •Вопрос 13 : Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой.
- •Вопрос 14: Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби.
- •Вопрос 15: Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
- •Вопрос 16: Интегрирование некоторых иррациональных выражений.
- •Вопрос 17: Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла.
- •Вопрос 18: Формула Ньютона-Лейбница.
- •Вопрос 19:Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям.
- •Вопрос 20: Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур.
Вопрос 6: Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение.
Теорема Ролля:
Если функция определена на отрезке [a, b] и непрерывна на нём, дифференцируема на (a, b) и принимает равные значения на концах отрезка, то существует точка с из (a, b) в которой производная равна нулю.
Основные пункты.
а) Функция определена на [a, b]
б) Дифференцируема на (a, b)
в) f(a) = f(b)
г) f (c) = 0
Теорема Лагранжа:
Если функция непрерывна на [a, b] дифференцируема на (a, b), то существует точка с из (a, b) такая, что выполнено равенство такая, что выполнено равенство - Формула конечных разностей. Геометрически теорема Лагранжа означает, что найдётся такая точка c, где касательная параллельна секущей.
Теорема Коши:
Пусть даны две функции и такие, что:
и определены и непрерывны на отрезке ;
производные и конечны на интервале ;
производные и не обращаются в нуль одновременно на интервале
;
тогда
, где
(Если убрать условие 4, то необходимо усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в нуль нигде в интервале .)
Геометрически это можно переформулировать так: если и задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр ), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами и , найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от до .
Вопрос 7: Правило Лопиталя.
Метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Условия:
или ;
и дифференцируемы в проколотой окрестности ;
в проколотой окрестности ;
существует , тогда существует .
Пределы также могут быть односторонними.
Вопрос 8: Условия монотонности функции. Экстремумы функции.
Условия монотонности функции
Пусть функция непрерывна на и имеет в каждой
точке производную Тогда
возрастает на тогда и только тогда, когда
убывает на тогда и только тогда, когда
Пусть функция непрерывна на и имеет в каждой точке производную Тогда
если то строго возрастает на
если то строго убывает на
Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале Пусть и всюду на интервале определена производная Тогда строго возрастает на интервале тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
Аналогично, строго убывает на интервале тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
Экстремум функции – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум). Алгоритм нахождения 1) D(f); 2) 3) =0 или не существует; 4) Нанести критические точки на действительную ось и определить знак функции на каждом отрезке.