- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •3. Теорема Ролля.
- •Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума).
- •5. Теорема Лагранжа.
- •6. Правило Лопиталя.
- •7. Необходимое условие локального экстремума функции одной переменной.
- •8. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
- •9. Нахождение асимптот графиков функции.
- •13. Первообразная. Теорема о двух первообразных одной функции.
- •10. Схема исследования функции с помощью дифференциального исчисления и построения графика.
- •21. Теорема о среднем значении для определенного интеграла.
- •24. Теорема о произвольной от интеграла с переменным верхним пределом.
- •25. Формула Ньютона-Лейбница.
- •26. Интегрирование по частям в определнном интеграле.
- •27. Замена переменной в определенном интеграле.
- •30. Интегралы с бесконечными пределами.
- •40. Необходимые условия абсолютного экстремума функции двух переменных.
- •31. Предел и непрерывность функции двух переменных.
- •42. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа для функции двух переменных.
- •41. Достаточные условия абсолютного экстермума функции двух переменных.
- •33. Частные производные.
- •32. Свойства непрерывных функций двух переменных.
- •19. Определенный интеграл. Определение. Геометрический смысл.
- •28. Вычисление площади фигуры и длины дуги с помощью определенного интеграла.
- •29. Вычисление объема и площади поверхности тела вращения с помощью определенного интеграла.
- •15. Основные свойства неопределенного интеграла.
- •16. Интегрирование по частям и замена переменной в неопределенной интеграле.
Производные и дифференциалы высших порядков
Опр-ие: производной n-го порядка (n2) функции у=f(х) называется производная (первого порядка) от производной (n-1)-го порядка.
Найдя 1-ю производную можно определить 2-ю производную по тем же формулам, по которым определяли первую.
Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется дифференциал первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается dny)По определению dny= d(dn-1y). Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем случае, dny=f(n)(х)dxn, в предположении, что n-ая производная f(n)(х) сущ-ет, поэтому понятно, что n-e. Производную обозначают так
3. Теорема Ролля.
Т еорема Ролля: Если функция у=f(х) непрерывна на замкнутом промежутке [a,b], дифференцируема хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на концах промежутка ее значения совпадают f(a)=f(b), то внутри промежутка найдется такая точка x=c, что f'(c)=0
Док-во: Если функция сохраняет постоянное значение на промежутке [a,b], f(х)= f(a)=f(b), то f'(c)=0 и в качестве точки с можно взять любую точку интервала (a,b).
Пусть теперь функция f(x) не является постоянной. По теореме Вейштраса существуют точки х1 и х2 на отрезке [a,b] , в которых достигаются наименьшее m и наибольшее М значения функции. Обе эти точки не могут быть концевыми для отрезка [a,b], т.к. из условия f(a)=f(b) вытекало бы, что m=М, следовательно, функция f(х) сохраняла бы постоянное значение, вопреки предположению.
Допустим, что не совпадает с концом отрезка точка х1, т.е. a< х1<b, тогда х1 является точкой локальности экстремума. По условия теоремы существует f'(х1). Из этих двух утверждений по теореме Ферма получаем f'(х1)=0, следовательно,
х1 можно принять за точку с.
Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума).
Опр-ие: Функция у=f(х) имеет в точке x0 локальный максимум, если сущ-ет окрестность (х0-, х0+), для всех точек х которой выполняется неравенство f(х)f(х0). Аналогично определяется локальный минимум, но выполняться должно равенство f(х)f(х0).
Т еорема Ферма: Если функция у=f(х) имеет в точке х0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная f'(х0) равна нулю.
Док-во: Проведем его для случая максимума в точке х0. Пусть (х0-, х0+) - та окрестность, для точек которой выполняется неравенство
З десь возможно как 1 и 2 варианты, но | ∆х| <δ
При ∆х>0, будет ∆y:∆x ≤0, поэтому
П ри ∆х<0, будет ∆y:∆x ≥0, поэтому
По условию теоремы, существует производная f'(х0)А это означает, что правая производная fпр'(х0) и левая производная fл'(х0) равны между собой: fпр'(х0)= fл'(х0)= f'(х0). Таким образом, с одной стороны, f'(х0)≤0, с другой стороны, f'(х0)≥0, что возможно лишь, когда f'(х0)=0.
4. Теорема Коши.
Т еорема Коши: Пусть функции у=f(х) и у=g(х) неперырвны на отрезке [a,b],дифференцируемы хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на этом промежутке g'(х) не обращается в нуль. Тогда существует такая точка c (a,b), что выполняется равенство (1)
Д окозательство: Вначале отметим, что знаменатель g(b)-g(a) ≠ 0,т.к. из равенства g(b)=g(a) следовало бы по теореме Ролля, что производная g'(х) обратилась бы в нуль в какой-нибудь точке промежутка (a,b), что противоречит условию g'(х)≠0. Образуем вспомогательную функцию:
К ней применима теорема Ролля: F(х) непрерывна в [a,b] и дифференцируема в (a,b) как сумма функций, непрерывных и дифференцируемых в соответствующих промежутках, кроме того, как легко проверить непосредственно, F(a)=F(b)=0. Следовательно, существует точка c (a,b), , такая, что F'(c)=0. Вычисляем:
П одставляем x=c:
После деления на g'(х) (причем как говорилось раньше g'(х) 0), мы приходим к формуле (1)