Вопрос 9: Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.

Наибольшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение  , что для любого   справедливо неравенство  . Наименьшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение  , что для любого   справедливо неравенство  . Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе  . Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

Вопрос 10: Исследование функций на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.

Функция называется выпуклой вверх, если её график лежит ниже любой касательной, функция называется выпуклой вниз, если её график лежит целиком выше любой касательной. Точка, в которой происходит смена характера выпуклости, называется точка перегиба.

Алгоритм нахождения:

1) D(f);

2) и вторую производную.

3) Приравнять к нулю вторую производную (найти точки).

4) Нанести точки на ось определить знак функции на каждом интервале. Если в точке тип выпуклости меняется, то это точка перегиба. Если – Хо – максимум – Хо - минимум – требуются дополнительные исследования.

Вопрос 11: Асимптоты кривых. Общая схема построения функций.

Прямая на плоскости называется асимптотой кривой , если расстояние от точек кривой до прямой неограниченно убывает, при условии, что точка двигаясь по кривой, неограниченно отдаляется от начала координат. Выделяют горизонтальные и вертикальные наклонные.

Асимптота кривой – это прямая, к которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность.

Общая схема построения графиков функции.

1. Найти D(f) (f – функция)

2. Е(f)

3. Определить чётность/нечётность функции

4. Определить характеристические точки

5. Промежутки монотонности, экстремумы.

6. Выпуклость/вогнутость функции. Точки перегиба.

7. Асимптоты.

8. Определить дополнительные точки.

Вопрос 12: Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования.

Пусть дана функция f(D) R -> причем множество D не содержит изолированных точек.

Первообразная для f – функция F, производная от которой совпадает с исходной функцией . Множество первообразных имеет вид , F(x) – одна из первообразных.

Неопределенный интеграл – это совокупность всех первообразных.

Теорема: Если F₁ и F₂ – первообразные f то F₁(x)-F₂(x) = const

Доказательство: W= F₁(x)- F₂(x) W’= (F₁(x)- F_a(x))’= F’₁(x)- F’₂(x)=f(x)-f(x)=0

Свойства неопределенного интеграла:

1. Интеграл от суммы = сумме интегралов:

2. Константу можно выносить за знак интеграла:

3. 

4. 

Данная формула применяется подъинтегральное выражение является произведением причем за функцию u лучше всего принять ту функция от которой проще(многочлен).

Таблица неопределенных интегралов:

1. 

2. 

3. arctg

4. 

5. +C

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13.