Тарировочные таблицы

Тарировочные таблицы – это таблично заданные тарировочные функции.

Их размер задается точностью исходной информации. Так или иначе сигнал с датчика преобразуется в код АЦП с заданной разрядность. Это означает, что иных значений, кроме тех, что выдает АЦП, быть не может в принципе, поэтому таблица не может быть больше, чем максимальное значение кода АЦП (может быть меньше, если используется не весь диапазон сигнала), также очевидно, что интерполяция по аргументы (измеряемой величине) бессмысленна.

Если тарировочная таблица выполняет функцию только калибровки, то это одномерный массив.

В общем случае размерность массива определяется количеством компенсируемых факторов.

Например. Есть датчик давления, чьи показания зависят от температуры. При этом давление измеряется АЦП с разрешением 10 бит, а температура – 8 бит. Для хранения полной тарировочной таблицы необходим массив 1024х256.

Заполнение тарировочной таблицы можно произвести прямым опытным путем – устройство ставится на стенд, где создаются измеряемые величины (температура, давление и т.п.) и для каждого значащего кода измеряемой величины (кода после оцифровки) в таблицу заносятся реальные значения, определяемые по измерительным приборам стенда.

Очевидно, что чем больше измеряемых параметров и чем шире диапазон значений, тем больше измерений необходимо провести. Для нашего примера потребуется более 260 тысяч измерений.

Поскольку проведение экспериментов такого порядка крайне трудоемко, то на практике поступают следующим образом. Обычно вид характеристик известен, то есть известно, сколько нужно точек, чтобы правдоподобно восстановить всю характеристику. На стенде снимают показания в этих контрольных точках и формируют таблицу значениями, полученными интерполяцией данных между заданными точками. При этом часто используются полиномиальные аппроксимационные функции, метод наименьших квадратов, МНК.

МНК

Метод наименьших квадратов — метод нахождения оптимальных параметров линейной регрессии, таких, что сумма квадратов ошибок минимальна. Метод заключается в минимизации евклидовой нормы между двумя векторами — вектором восстановленных значений зависимой переменной и вектором фактических значений зависимой переменной.

Рассмотрим пример.

Задана выборка — таблица

Задана регрессионная модель — квадратичный полином

Назначенная модель является линейной. Для нахождения оптимального значения вектора параметров выполняется следующая подстановка:

Тогда матрица значений подстановок свободной переменной будет иметь вид

Задан критерий качества модели: функция ошибки

Здесь вектор . Требуется найти такие параметры , которые бы доставляли минимум этому функционалу,

Требуется найти такие параметры , которые доставляют минимум — норме вектора невязок .

Для того, чтобы найти минимум функции невязки, требуется приравнять ее производные к нулю. Производные данной функции по составляют

Это выражение также называется нормальным уравнением. Решение этой задачи должно удовлетворять системе линейных уравнений

то есть,

После получения весов можно построить график найденной функции.