25. Отношение. Задание отношения. Бинарные тернарные и другие отношения.

Для множеств определены следующие бинарные отношения:

• отношение равенства (обозначается как  );

• отношение включения (обозначается как  ).

Одноместные отношения соответствуют свойствам или атрибутам.

• Двуместные отношения называют бинарными и обычно записывают инфиксной записью: x R y. Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы и частично упорядоченные множества.

• Трёхместные отношения называют тернарными.

Виды отношений

• Рефлексивное транзитивное отношение называется отношением квазипорядка.

• Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности.

• Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка.

• Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка.

• Полное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением линейного порядка.

• Антирефлексивное асимметричное отношение называется отношением доминирования.

Виды двухместных отношений

• Обратное отношение (отношение, обратное к R) — это двухместное отношение, состоящее из пар элементов (у, х), полученных перестановкой пар элементов (х, у) данного отношения R. Обозначается: R−1. Для данного отношения и обратного ему верно равенство: (R−1)−1 = R.

• Взаимо-обратные отношения (взаимообратные отношения) — отношения, являющиеся обратными друг по отношению к другу. Область значений одного из них служит областью определения другого, а область определения первого — областью значений другого.

• Рефлексивное отношение — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличаю­щееся тем, что для любого х этого множества элемент х на­ходится в отношении R к самому себе, то есть для любого элемента х этого множества имеет место xRx. Примеры рефлексивных отношений: равенство, одновременность, сходство.

• Антирефлексивное отношение (нерефлексивное[уточнить] отношение, иррефлексивное отношение) — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличаю­щееся тем, что для любого элемента х этого множества неверно, что оно находится в отношении R к самому себе (неверно, что xRx), то есть возможен случай, что элемент множества не находится в отно­шении R к самому себе. Примеры нерефлексвных отношений: «заботиться о», «развлекать», «нервировать».

• Транзитивное отношение — двухместное отношение R, оп­ределенное на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х, у, z этого множества из xRy и yRz следует xRz (xRy&yRz xRz). Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».

• Нетранзитивное отношение[уточнить] — двухместное отношение R, оп­ределенное на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х, у, z этого множества из xRy и yRz не следует xRz ( (xRy&yRz xRz)). Пример нетранзитивного отношения: «x отец y»

• Симметричное отношение — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых элементов х и у этого множества из того, что х находится к у в отношении R (xRy), следует, что и у находится в том же отношении к х (уRx). Примером симметричных отношений могут быть равенство (=), отношение эквивалентности, подобия, одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).

• Антисимметричное отношение — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х и у из xRy и xR−1y следует х = у (то есть R и R−1 выполняются одновременно лишь для равных между собой членов).

• Асимметричное отношение[уточнить] — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х и у из xRy следует   yRx. Пример: отношение «больше» (>) и «меньше» (<).

• Отношение эквивалентности (отношение тождества[уточнить], отношение типа равенства) — двухместное отношение R между предметами х и у в предметной области D, удовлетворяющее следующим аксиомам (условиям):

  1. аксиоме рефлексивности (см. выше): xRx (предмет находится в отношении R к само­му себе);

  2. аксиоме симметрич­ности (см. выше): xRy yRx (если предмет х находится в отношении R к пред­мету у, то и у находится в отношении R к х);

  3. аксиоме транзитивности (см. выше): xRy&yRz xRz (если предмет х находится в отношении R к предмету у и у находится в отношении R к z, то х находится в отношении R к г).

Таким образом, отношение типа равенства является одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным. Примеры: равенство, равномощность двух множеств, обмениваемость товаров на рынке[источник не указан 483 дня], подобие,одновременность. Пример отношения, которое удовлетворяет аксиоме (3), но не удовлетворяет аксиомам (1) и (2): «больше».

• Отношения порядка — отношения, обладающие только некоторыми из трёх свойств отношения эквивалентности. В частности, отношение рефлексивное и транзитивное, но несимметричное (например, «не больше») образует «нестрогий» порядок. Отношение транзитивное, но нерефлексивное и несимметричное (например, «меньше») — «строгий» порядок.

• Функция — двухместное отношение R, определенное на некотором мно­жестве, отличающееся тем, что каждому значению уотно­шения xRy соответствует лишь одно-единственное значение х. Пример: «х отец у». Свойство функциональности отно­шенияR записывается в виде аксиомы: (xRy и zRy)→(x≡z). Поскольку каждому значению у в выражениях xRy и zRy соответствует одно и то же значение для х и z, то х и z совпадут, окажутся одними и теми же. Функциональное отношение однозначно, поскольку в об­щем случае каждому значению у отношения xRy соответствует лишь одно-единственное значение х, но не наоборот.

• Биекция (одно-однозначное отношение) — двухместное отношение R, определенное на некотором мно­жестве, отличающееся тем, что в нём каждому значению х соответствует единственное значение у, и каждому значению у соответствует единственное значение х. Одно-однозначное отношение является частным случаем однозначного отношения.

• Связанное отношение — это двухместное отношение R, определённое на некотором множестве, отличающееся тем, что для любых двух различных элементов х и у из этого множества, одно из них находится в отношении R к другому (т. е. выполнено одно из двух соотношений: xRy или yRx). Пример: отношение «меньше» (<).