15(29) Сходство и толерантность

Отношением толерантности (или просто толерантностью) на множестве X называется бинарное отношение, удовлетворяющее свойствам рефлексивности и симметричности, но не обязательно являющееся транзитивным. Таким образом, отношение эквивалентности является частным случаем толерантности.

В отличие от отношения эквивалентности, дающего разбиение множества элементов, на котором оно определено, на непересекающиеся подмножества, отношение толерантности даёт покрытие этого множества. Отношение толерантности используется, например, также при классификациях информации в базах знаний.

Отношение эквивалентности(сходство) (~) на множестве X — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:

Рефлексивность: a~a для любого a в X,

Симметричность: если a~b , то b~a ,

Транзитивность: если a ~b иb~c , то a~c .

Запись вида «a~b» читается как «a эквивалентно b».

16. Мощность континиума

Мощность множества или кардинальное число множества — это обобщение понятия количества (числа) элементов множества, которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.

Для мощностей множеств можно ввести отношение частичного порядка, поэтому одно бесконечное множество может быть больше или меньше другого. Среди бесконечных множеств счётное множество является самым маленьким.

В теории множеств, конти́нуум (от лат. continuum — непрерывное) может обозначать одно из следующих сходных понятий:

• кардинал или класс множеств, равномощных множеству вещественных чисел.

• множество, равномощное множеству вещественных чисел. Например, совокупность всех точек отрезка прямой или множество всех трансцендентных чисел. Говорят: «континуум», «множество мощности континуум» или «континуальное множество».

• Мощность множества или кардинальное число множества — это обобщение понятия количества (числа) элементов множества, которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.

• Для мощностей множеств можно ввести отношение частичного порядка, поэтому одно бесконечное множество может быть больше или меньше другого. Среди бесконечных множеств счётное множество является самым маленьким.

Свойства

• Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.

• Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью своего собственного подмножества, например  .

  • Более того, множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно содержит равномощное собственное (то есть не совпадающее с основным множеством) подмножество.

• Теорема Кантора гарантирует существование более мощного множества для любого данного: Множество всех подмножеств множества A мощнее A, или | 2^A | > | A | .

• С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.

• Мощность декартова произведения:

• Формула Грассмана: