11. Формулы Бейесса.

Если до опыта вероятности гипотез были , а в результате опыта появилось , то с учетом этого события «новые», т.е. условные вероятности гипотез вычисляется по формуле Бейесса.

Формула Байеса дает возможность "пересмотреть" вероятности гипотез с учетом наблюдательного результата опыта.

Если после опыта, закончившегося появлением события А, производится еще один опыт, в котором может появится или не появиться событие В, то вероятность (условная) этого последнего события вычисляется по формуле полной вероятности, в которую подставлены не прежние вероятности гипотез , а новые :

12. Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события .

Теорема: Если Вероятность p наступления события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие наступит раз в независимых испытаниях, равна:

где q = 1-p.

Доказательство: Пусть в результате независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие наступает с вероятностью , следовательно противоположное ему событие с вероятностью .

Обозначим — наступление события в испытании с номером . Так как условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате n опытов событие наступает раз, тогда остальные − раз это событие не наступает. Событие может появиться раз в испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из n элементов по . Это количество сочетаний находится по формуле:

При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу Бернулли: где .

13. Закон массовых, но маловероятных событий. Формула Пуассона.

Если — велико, а — мало, то вычисления вероятности по формуле Бернулли на практике невозможно. При этих условиях используется формула Пуассона для вычисления вероятности маловозможных событий в массовых испытаниях:

, где , , .

Пример: Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию равна 0,01. Найдите вероятности того, что в течение часа 5 абонентов позвонят на станцию;

Решение: Так как р = 0,01 мало и n = 400 велико, то будем пользоваться приближенной формулой Пуассона при .

14. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа:

проводится независимых испытаний , и . Если

ограничена, то вероятность того, что в испытаний событие состоится раз, определяется формулой

;

Интегральная теорема Лапласа.

Если (число испытаний), а вероятность появления события в 1 испытании равно , то ограничена, то P того, что в n исследованиях событие состоятся от раз определяется функцией.

Функция Лагранжа:

– приращение функции Лапласа.

малое «+» число.