Задача 9
Рост взрослых мужчин в рассматриваемой совокупности является нормально распределённой случайной величиной . Средний рост мужчин в совокупности 172 см. 30% мужчин имеет рост от 168 до 172 см. Найдите среднее квадратичное отклонение случайной величины; долю мужчин, рост которых находится в пределах от 169 до 174 см. Какова вероятность того, что из 10 случайно отобранных мужчин у 7 рост будет в пределах от 169 до 174 см? Постройте графики функции нормального распределения и график плотности распределения.
Нормальная случайная величина имеет плотность распределение вида
(9.1)
и подчиняется следующему закону распределения
. (9.2)
Математическое ожидание дано по условию MX=172. Найдем среднее квадратичное отклонение из следующего выражения
Воспользовавшись таблицей для стандартного нормального закона распределения [3, стр. 151], получим
Определим вероятность попадания в интервал от 169 до 174 см, пользуясь той же таблицей.
Воспользуемся формулой Бернулли (5.3), чтобы определить вероятность попадания в интервал от 169 до 174 см 7 раз из 10.
Для построения графиков воспользуемся таблицей [3, стр. 151].
Таблица 3
|
158 |
160 |
162 |
164 |
166 |
168 |
170 |
172 |
f() |
0,0001 |
0,003 |
0,009 |
0,021 |
0,038 |
0,059 |
0,077 |
0,085 |
F() |
0,00144 |
0,00539 |
0,01700 |
0,04746 |
0,10204 |
0,19766 |
0,33360 |
0,50000 |
|
||||||||
|
174 |
176 |
178 |
180 |
182 |
184 |
186 |
188 |
f() |
0,077 |
0,059 |
0,038 |
0,021 |
0,009 |
0,003 |
0,0001 |
0,0003 |
F() |
0,66640 |
0,80234 |
0,89796 |
0,95254 |
0,98300 |
0,99461 |
0,99856 |
0,99966 |
На рисунке 9.1 и рисунке 9.2 показаны соответственно графики f() и F().
Рисунок 9.1 Плотность вероятности нормальной случайной величины
Рисунок 9.2 Функция распределения нормального распределения
Библиографический список
Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. – 7-е изд. Стер. – М.: Высш. шк., 2001. – 575 с.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие. – 12-е изд., перераб. – М.: Высшее образование, Юрайт-Издат, 2009. – 479 с.
Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике / Я.К. Колде. – М.: «Высшая школа», 1991. – 154 с.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Вероятностное_пространство
Приложение а
Во всех задачах случайные числа генерируются одинаково, поэтому функции, генерирующие случайные числа, вынесены в отдельный файл «gen.c». Его содержимое показано ниже.
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
void Init()
{
int stime;
long ltime;
ltime=time(NULL);
stime=(unsigned) ltime/2;
srand(stime);
}
double RandomRange(double range_min, double range_max)
{
return range_min+((double)(rand())/(double)RAND_MAX)*(range_max-range_min);
}
int IntRandomRange(int range_min,int range_max)
{
return range_min+rand()%(range_max-range_min+1);
}
1 Следующая программа статистически определяет вероятность событий, указанных в задаче 1. Для начала работы необходимо ввести число экспериментов.
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#include "gen.C"
void main(void)
{
long count,i,r1=0,r2=0,r3=0;
int a,b;
Init();
printf("Input a number of iterations: ");
scanf("%ld",&count);
printf("Please wait\n");
for(i=0;i<count;i++)
{
a=IntRandomRange(1,10);
b=IntRandomRange(1,10);
if(a<=3 && b<=3)
r1++;
if(a>3 && b>3)
r2++;
if((a<=3 && b>3) || (a>3 && b<=3))
r3++;
}
printf("Probability of event A: %lf\n",(double)r1/(double)count);
printf("Probability of event B: %lf\n",(double)r2/(double)count);
printf("Probability of event C: %lf\n",(double)r3/(double)count);
getch();
}
2 Следующая программа статистически определяет вероятность событий, указанных в задаче 2.
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#include "gen.c"
void main(void)
{
long res=0;
long count,i;
double a,b,tp;
printf("Input the number of iteration: ");
scanf("%ld",&count);
printf("Please wait\n");
for(i=0;i<count;i++)
{
a=RandomRange(0.,1.);
b=RandomRange(0.,1.);
if(a<1-b || a<=b*b)
if((a<1 && a>=0.5) && (b<1 && b>=0.5))
res++;
}
printf("Successful outcomes are %ld / %ld\n",res,count);
a=(double)res/(double)(count);
printf("Statistic probability is %lf\n",a);
getch();
}
3 Следующая программа статистически определяет вероятность событий, указанных в задаче 3.
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#include "gen.c"
void main(void)
{
long res=0;
long count,i,p=0;
double a,b,tp;
Init();
printf("Input the number of iteration: ");
scanf("%ld",&count);
printf("Please wait\n");
for(i=0;i<count;i++)
{
a=RandomRange(-1.,1.);
b=RandomRange(-1.,1.);
if((a*a+b*b)>1. || a==0.)
{
p++;
continue;
}
tp=(a+b)*(a+b)-4*a*(0.5*a+b);
if(tp>=0)
res++;
}
printf("Successful outcomes are %ld / %ld\n",res,count-p);
a=(double)res/(double)(count-p);
printf("Statistic probability is %lf\n",a);
getch();
}
4 Следующая программа статистически определяет вероятность событий, указанных в задаче 4.
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#include "gen.c"
void main(void)
{
int a;
long count, t;
long i,res=0;
double fb1,fb2,fb3;
Init();
printf("Number of TVs on a marketplace: ");
scanf("%ld",&t);
printf("Number of iterations: ");
scanf("%ld",&count);
fb1=floor(0.3*t);
fb2=floor(0.2*t);
fb3=floor(0.5*t);
printf("Please wait\n");
for(i=0;i<count;i++)
{
a=IntRandomRange(1,t);
if(a<=fb1)
{
a=IntRandomRange(1,fb1);
if(a<fb1-0.2*fb1)
res++;
}
else if(a>fb1 && a<=fb1+fb2)
{
a=IntRandomRange(1,fb2);
if(a<fb2-0.1*fb2)
res++;
}
else if(a>fb1+fb2 && a<=fb1+fb2+fb3)
{
a=IntRandomRange(1,fb3);
if(a<fb3-0.05*fb3)
res++;
}
}
printf("Statistic probability of buying a working TV: %lf\n",(double)res/(double)count);
getch();
}
