Задача 8

С лучайная величина  (=x) задана функцией плотности распределения

	,
f(x)=		,	(8.1)
	0,

с заданной дисперсией DX=1.

Определить константы a и b и повторить задачу 7. Пусть определены события A и В

. (8.2)

Выяснить являются ли события А и В зависимы. Случайная величина измеряется в трех независимых испытаниях, по результатам которых строят новую случайную величину . Случайная величина  равна 1, если хотя бы при одном испытании произошло событие А; равно 0, если А не произошло ни разу, но хотя бы раз произошло событие В–А, и принимает значение -1 во всех остальных случаях. Определите MX и DX случайной величины .

Сначала избавимся от модулей в (8.1), преобразовав выражение в (8.3).

	0 ,
f(x)=	,		(8.3)
	,
	0,

Определим константы, для чего составим систему из следующих уравнений

(8.4)

Начальные моменты системы (8.4) определяются по уже известной формуле (7.3).

Так первое уравнение системы

.

Второе уравнение системы

Подставим результаты в (8.4) и разрешим систему относительно констант

.

Подставим найденные нами константы в (8.3) и (8.2).

	0 ,
f(x)=	,		(8.5)
	,
	0,

(8.6)

Рассчитаем функцию распределения

	0 ,
F(x)=	,		(8.7)
	,
	1,

Определим оставшиеся начальные и центральные моменты

Коэффициенты асимметрии и эксцесса

Воспользовавшись теоремой (1.3), проверим события А и В на независимость.

События приближённо можно считать независимыми.

Введём случайную величину , которая является дискретной. Пусть событие H₁={появление событие А хотя бы раз в трех испытаниях}; H₂={Появление события В–А хотя бы раз в трех испытаниях и не появление события А}.

Составим таблицу для случайной величины .

Таблица 2

	-1	0	1
p	0,0013	0,00066	0,998

Пользуясь формулами (6.2) и (6.3) вычислим дисперсию и математическое ожидание.

На рисунках 8.1 и 8.2 показаны графики плотности вероятности и функции распределения случайной величины .

Рисунок 8.1 Плотность вероятности случайной величины

Рисунок 8.2 График функции распределения