Оглавление
ОГЛАВЛЕНИЕ 2
ЗАДАЧА 1 3
ЗАДАЧА 2 5
ЗАДАЧА 3 7
ЗАДАЧА 4 9
ЗАДАЧА 5 10
ЗАДАЧА 6 12
ЗАДАЧА 7 15
ЗАДАЧА 8 18
ЗАДАЧА 9 22
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 24
ПРИЛОЖЕНИЕ А 25
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ А 25
Задача 1
В лотерее из 10 билетов 3 выигрышных. Некто купил 2 билета. Опишите: а) пространство элементарных исходов при покупке 2-х билетов; б) событие А – «оба билета выигрышные»; в) событие В – «ни один из билетов не выигрышный»; г) событие С – «среди купленных билетов ровно один выигрышный». Являются ли события А, В и С несовместными? Независимыми? Чему равна сумма событий А, В и С? Найдите вероятность событий А, В, С и А+В.
В данной задаче испытанием является случайная покупка 2-х билетов одним человеком. Тогда пространство элементарных исходов определится совокупностью всевозможных сочетаний 2-х купленных билетов из 10 билетов, рассчитываемых по формуле (1.1) (количество сочетаний)
, (1.1)
где t – количество перебираемых элементов;
k – количество элементов в одном возможном варианте.
Так пространство элементарных исходов определится
.
Пространство исходов, благоприятных событию А, определяется как совокупность сочетаний 2-х купленных выигрышных билетов из 3-х возможных выигрышных. По формуле (1.1)
Пространство исходов, благоприятных событию В, определяется как совокупность сочетаний 2-х купленных проигрышных билетов из 7 возможных проигрышных.
Пространство исходов, благоприятных событию С, определяется множеством, являющимся результатом пересечения пространства исходов, когда из 3-х выигрышных билетов при различных сочетаниях выпадает 1 выигрышный, и пространства исходов, когда из 7 проигрышных билетов при различных сочетаниях выпадает ровно 1 проигрышный. Другими словами, это произведение сочетаний вида
.
Пользуясь формулой классической вероятности, рассчитаем вероятности событий А, В и С
.
Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе [1 стр. 26]. Математически эту мысль можно выразить как
Ø ;
. (1.2)
Следуя (1.2), подмножество случайных событий можно представить так
;
.
Из условия (1.2) группа событий А, В, С несовместна, так как, если их попарно пересекать, будут получаться пустые множества.
Два события независимы, если вероятность появления первого события не меняет вероятности появления второго события. Другими словами, события А1 и А2 независимы, если
. (1.3)
Тогда для событий А, В, С
Следовательно, группа событий A, B и С зависима.
Суммой событий А, B и С называется выражение
.
Так как события это множества, тогда, согласно определению, объединением нескольких множеств называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства, и в данной задаче это алгебра событий F вероятностного пространства [4]. Так как, покупка билетов производится один раз, то алгебра событий совпадет с генеральной совокупностью исходов , поэтому справедливо утверждать
.
События А и B несовместны, так как согласно (1.2) их пересечение даст пустое множество. В этом случае можно применить теорему сложения вероятностей [1, стр. 40].
.
В приложении А приведён листинг программы, производящей экспериментальный подсчет вероятности указанных событий.