Задача 4

В продажу поступают телевизоры трёх заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго – 10%, третьего – 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров с 1-го завода, 20% – со 2-го и 50% – с 3-го? Если телевизор исправен, то какой завод вероятнее всего его изготовил?

Рассмотрим событие А={покупка исправного телевизора}. Так как исправный телевизор может быть сделан одним из трех заводов, то введем следующие гипотезы:

H₁ – купленный телевизор произведен первым заводом;

H₂ – купленный телевизор произведен вторым заводом;

H₃ – купленный телевизор произведен третьим заводом.

Тогда вероятность события А будет вычисляться по формуле полной вероятности вида [1, стр. 54]

, (4.1)

где P(H_i) – в нашем случае, вероятность покупки телевизора, i-го завода (всё равно какого);

P(A|H_i) – вероятность того, что купленный i-го завода телевизор исправен.

Вероятность P(H_i) определяется долей телевизоров на рынке и дана по условию, т.е.

.

Вероятность P(A|H_i) определяется долей исправных телевизоров в партии, которую можно получить, если из всей партии вычесть долю брака, т.е.

.

Подставляя данные в (4.1) получим

.

Так как гипотезы очевидно несовместны, то можно применить формулу Бейеса [1, стр. 56]

, (4.2)

где P(H_i|A) – в нашем случае, вероятность того, что купленный исправный телевизор изготовлен i-ым заводом.

Таким образом,

.

Из чего заключаем, что приобретенный исправный телевизор вероятнее всего изготовлен 3-им заводом.

В приложении А приведён листинг программы, производящей экспериментальный подсчёт указанной вероятности.

Задача 5

1. Устройство состоит из 400 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента, проработавшего время t, равна 0,15. Найдите наивероятнейшее количество приборов, которые могут отказать через время t и вероятность отказа такого количества;

2. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение смены станок потребует его внимания, равна 0,7. Найдите вероятность того, что в течение смены внимания рабочего потребуют 2 станка;

3. Вероятность наступления события в каждом испытании равна 0,8. Найдите наибольшее отклонение частоты этого события от вероятности его наступления, которое можно ожидать с вероятностью 0,9146 при 4900 испытаниях;

4. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на 1 веретене в течение 1 минуты равна 0,003. Вычислите вероятность того, что в течение 1 минуты произойдет не более двух обрывов.

5.1 Наивероятнейшее количество приборов, которые могут выйти из строя, лежит в следующем промежутке [3, стр. 20]

, (5.1)

где n – число испытаний;

p – вероятность того, что событие произойдёт в повторении;

q – вероятность того, что событие не произойдёт в повторении.

В нашем случае

Так как обе границы не целые, то наивероятнейшая частота одна. Возьмем левую границу и округлим её до целых, т.е.

.

Так как число испытаний достаточно велико, то вычислить вероятность можно приближённо, воспользовавшись локальной теоремой Лапласа [2, стр. 58]

. (5.2)

Подставляя, получим

Значение функции  определим по таблице [2, стр. 461]

.

Взяв значение по модулю, рассчитаем вероятность

.

5.2 Для расчета этой вероятности воспользуемся формулой Бернулли [2, стр. 55]

. (5.3)

В нашем случае

5.3 Так как число испытаний достаточно велико, то можно воспользоваться приближённой интегральной теоремой Лапласа (неправильно: следует использовать приближение Пуассона), а именно её частной формой [2, стр. 61], так как нас просят рассчитать наибольшее отклонение , т.е.

. (5.4)

Левая часть выражения (5.4) дана по условию, т.е. вероятность появления отклонения частоты от вероятности появления события. Тогда можно записать

Воспользовавшись таблицей [2, стр. 462], найдем значение аргумента функции  и вычислим 

.

5.4 Так как число испытаний достаточно велико, то вычислить вероятность можно приближённо, воспользовавшись интегральной теоремой Лапласа [2, стр. 59]

. (5.5)